تفاوت بین جمعیت و انحراف استاندارد نمونه

2024 نویسنده: Alex Aldridge | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 13:37

جمعیت در مقابل انحراف استاندارد نمونه

در آمار، چندین شاخص برای توصیف یک مجموعه داده مطابق با تمایل مرکزی، پراکندگی و چولگی آن استفاده می شود. انحراف معیار یکی از رایج ترین معیارهای پراکندگی داده ها از مرکز مجموعه داده است.

به دلیل دشواری های عملی، استفاده از داده های کل جمعیت هنگام آزمایش یک فرضیه امکان پذیر نخواهد بود. بنابراین، ما از مقادیر داده‌ها از نمونه‌ها برای استنتاج درباره جامعه استفاده می‌کنیم. در چنین شرایطی، از آنجایی که مقادیر پارامتر جمعیت را تخمین می زنند، به آنها تخمینگر می گویند.

استفاده از برآوردگرهای بی طرفانه در استنتاج بسیار مهم است. اگر مقدار مورد انتظار آن تخمین‌گر با پارامتر جمعیت برابر باشد، به تخمین‌گر بی‌طرف گفته می‌شود. به عنوان مثال، ما از میانگین نمونه به عنوان یک برآوردگر بی طرفانه برای میانگین جامعه استفاده می کنیم. (از نظر ریاضی می توان نشان داد که مقدار مورد انتظار میانگین نمونه برابر با میانگین جامعه است). در مورد تخمین انحراف معیار جمعیت، انحراف معیار نمونه نیز یک برآوردگر بی طرفانه است.

انحراف معیار جمعیت چیست؟

وقتی بتوان داده های کل جمعیت را در نظر گرفت (مثلاً در مورد سرشماری)، می توان انحراف معیار جمعیت را محاسبه کرد. برای محاسبه انحراف معیار جامعه، ابتدا انحراف مقادیر داده ها از میانگین جامعه محاسبه می شود. ریشه میانگین مربع (میانگین درجه دوم) انحرافات، انحراف معیار جمعیت نامیده می شود.

در یک کلاس 10 دانش آموز، داده های مربوط به دانش آموزان را می توان به راحتی جمع آوری کرد.اگر فرضیه ای بر روی این جمعیت از دانشجویان آزمون شود، نیازی به استفاده از مقادیر نمونه نیست. به عنوان مثال، وزن 10 دانش آموز (به کیلوگرم) 70، 62، 65، 72، 80، 70، 63، 72، 77 و 79 اندازه گیری می شود. سپس میانگین وزن ده نفر (به کیلوگرم) است. (70+62+65+72+80+70+63+72+77+79)/10 که 71 است (به کیلوگرم). این میانگین جمعیت است.

حالا برای محاسبه انحراف استاندارد جمعیت، انحرافات را از میانگین محاسبه می کنیم. انحرافات مربوطه از میانگین عبارتند از (70-71)=-1، (62-71)=-9، (65-71)=-6، (72-71)=1، (80-71)=9، (70 – 71)=-1، (63 – 71)=-8، (72 – 71)=1، (77 – 71)=6 و (79 – 71)=8. مجموع مجذورات انحراف برابر است با (-1)² + (-9)² + (-6)² + 1 2 ^{+ 9}2 ^{+ (-1)}2 ^{+ (-8)}2^{+ 1}2 ^{+ 6}2 ^{+ 8}2 ^{=366. انحراف استاندارد جمعیت √(366/10)=6.05 (بر حسب کیلوگرم) است. 71 میانگین وزن دقیق دانش آموزان کلاس و 6 است.05 انحراف معیار دقیق وزن از 71 است.}

انحراف معیار نمونه چیست؟

وقتی از داده های یک نمونه (با اندازه n) برای تخمین پارامترهای جامعه استفاده می شود، انحراف استاندارد نمونه محاسبه می شود. ابتدا انحراف مقادیر داده ها از میانگین نمونه محاسبه می شود. از آنجایی که میانگین نمونه به جای میانگین جامعه (که ناشناخته است) استفاده می شود، گرفتن میانگین درجه دوم مناسب نیست. به منظور جبران استفاده از میانگین نمونه، مجموع مجذورات انحرافات به جای n بر (n-1) تقسیم می شود. انحراف استاندارد نمونه جذر این است. در نمادهای ریاضی، S=√{∑(x_i-ẍ)² / (n-1)}، که در آن S نمونه انحراف استاندارد است ، ẍ میانگین نمونه است و x_{i نقاط داده است.}

حالا فرض کنید، در مثال قبلی، جمعیت دانش‌آموزان کل مدرسه است. سپس، کلاس فقط یک نمونه خواهد بود. اگر از این نمونه در برآورد استفاده شود، انحراف معیار نمونه √(366/9)=6 خواهد بود.38 (به کیلوگرم) از آنجایی که 366 به جای 10 (حجم نمونه) بر 9 تقسیم شد. واقعیتی که باید مشاهده کرد این است که این مقدار دقیق انحراف استاندارد جمعیت تضمین نمی شود. این فقط یک تخمین برای آن است.

تفاوت بین انحراف معیار جمعیت و انحراف معیار نمونه چیست؟

• انحراف استاندارد جمعیت مقدار دقیق پارامتری است که برای اندازه گیری پراکندگی از مرکز استفاده می شود، در حالی که انحراف استاندارد نمونه یک برآوردگر بی طرف برای آن است.

• انحراف معیار جمعیت زمانی محاسبه می شود که تمام داده های مربوط به هر فرد از جمعیت شناخته شده باشد. در غیر این صورت، انحراف معیار نمونه محاسبه می شود.

• انحراف استاندارد جمعیت با σ=√{ ∑(xi-µ)²/ n} داده می شود که μ میانگین جمعیت و n اندازه جمعیت است اما انحراف استاندارد نمونه با S=√{ ∑(xi-ẍ)^{2 / (n-1)} داده می شود که در آن ẍ میانگین نمونه و n اندازه نمونه است.}