مشتق در مقابل انتگرال
تمایز و ادغام دو عملیات اساسی در حساب دیفرانسیل و انتگرال هستند. آنها در چندین زمینه مانند ریاضیات، مهندسی و فیزیک کاربردهای متعددی دارند. هم مشتق و هم انتگرال رفتار یک تابع یا رفتار یک موجود فیزیکی را که به آن علاقه مندیم مورد بحث قرار می دهند.
مشتق چیست؟
فرض کنید y=ƒ(x) و x0 در دامنه ƒ باشد. سپس limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) - ƒ(x0)]/Δx نرخ تغییر لحظه ای ƒ در x0 نامیده می شود ، به شرطی که این حد به طور محدود وجود داشته باشد.این حد مشتق at نیز نامیده می شود و با ƒ(x) نشان داده می شود.
مقدار مشتق تابع f در نقطه دلخواه x در دامنه تابع با limΔx→∞ داده می شود [ƒ(x+Δx) - ƒ(x)]/Δx. این با هر یک از عبارات زیر نشان داده می شود: y، ƒ(x)، ƒ، dƒ(x)/dx، dƒ/dx، Dxy.
برای توابع با چندین متغیر، مشتق جزئی را تعریف می کنیم. مشتق جزئی یک تابع با چندین متغیر، مشتق آن نسبت به یکی از آن متغیرها است، با این فرض که متغیرهای دیگر ثابت هستند. نماد مشتق جزئی ∂. است
از نظر هندسی مشتق یک تابع را می توان به عنوان شیب منحنی تابع ƒ(x) تفسیر کرد.
انتگرال چیست؟
ادغام یا ضد تمایز فرآیند معکوس تمایز است. به عبارت دیگر، هنگامی که مشتق تابع داده می شود، فرآیند یافتن یک تابع اصلی است.بنابراین، یک انتگرال یا یک ضد مشتق از یک تابع ƒ(x) اگر، ƒ(x)=F (x) را می توان به عنوان تابع F (x)، برای همه x در دامنه ƒ(x) تعریف کرد.
عبارت ∫ƒ(x) dx نشان دهنده مشتق تابع ƒ(x) است. اگر ƒ(x)=F (x)، پس ∫ƒ(x) dx=F (x)+C، که در آن C یک ثابت است، ∫ƒ(x) dx انتگرال نامعین ƒ(x) نامیده می شود.
برای هر تابع ƒ، که لزوماً غیرمنفی نیست، و در بازه [a, b]، a∫b تعریف شده است. ƒ(x) dx انتگرال معین ƒ در [a, b] نامیده می شود.
انتگرال معین a∫bƒ(x) dx یک تابع ƒ(x) را می توان به صورت هندسی به عنوان مساحت ناحیه محدود شده توسط منحنی ƒ(x) ، محور x و خطوط x=a و x=b.
تفاوت بین مشتق و انتگرال چیست؟
• مشتق نتیجه تمایز فرآیند است، در حالی که انتگرال نتیجه ادغام فرآیند است.
• مشتق یک تابع نشان دهنده شیب منحنی در هر نقطه معین است، در حالی که انتگرال نشان دهنده سطح زیر منحنی است.
