تمایز در مقابل مشتق
در حساب دیفرانسیل، مشتق و تمایز ارتباط نزدیکی دارند، اما بسیار متفاوت هستند و برای نشان دادن دو مفهوم مهم ریاضی مرتبط با توابع استفاده می‌شوند.
مشتق چیست؟
مشتق یک تابع میزان تغییر مقدار تابع را با تغییر ورودی آن اندازه می گیرد. در توابع چند متغیره، تغییر در مقدار تابع به جهت تغییر مقادیر متغیرهای مستقل بستگی دارد. بنابراین در چنین مواردی جهت خاصی انتخاب می شود و تابع در آن جهت خاص متمایز می شود.آن مشتق را مشتق جهت دار می نامند. مشتقات جزئی نوع خاصی از مشتقات جهت دار هستند.
مشتق از یک تابع با مقدار برداری f را می توان به عنوان حد [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac تعریف کرد. {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] هرجا که به‌طور متناهی وجود داشته باشد. همانطور که قبلا ذکر شد، این نرخ افزایش تابع f را در امتداد جهت بردار u به ما می دهد. در مورد یک تابع تک مقدار، این به تعریف شناخته شده مشتق، [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\ به 0}\\frac{f کاهش می‌یابد. (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
برای مثال، [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] در همه جا قابل تمایز است، و مشتق برابر با حد، [latex]\\lim_{h است. \\ به 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex]، که برابر با [latex]3x^{2}+4[/latex]. مشتقات توابعی مانند [latex]e^{x}، \\sin x، \\cos x[/latex] در همه جا وجود دارند. آنها به ترتیب برابر با توابع [latex]e^{x}، \\cos x، – \\sin x[/latex] هستند.
این به عنوان اولین مشتق شناخته می شود. معمولاً اولین مشتق تابع f با f نشان داده می شود. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ به 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] مشتق جهتی مرتبه دوم است و مشتق n ام را با f (n) نشان می دهد. برای هر n، [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\ تا 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex]، مشتق n th را تعریف می کند.
تمایز چیست؟
تمایز کردن فرآیند یافتن مشتق یک تابع قابل تمایز است. عملگر D که با D نشان داده می شود، تمایز را در برخی زمینه ها نشان می دهد. اگر x متغیر مستقل است، D ≡ d/dx. عملگر D یک عملگر خطی است، یعنی برای هر دو تابع متمایزپذیر f و g و ثابت c، ویژگی‌های زیر برقرار است.
I. D (f + g)=D (f) + D (g)
II. D (cf)=cD (f)
با استفاده از عملگر D، سایر قوانین مرتبط با تمایز را می توان به صورت زیر بیان کرد. D (f g)=D (f) g + f D (g) ، D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 و D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
به عنوان مثال، وقتی F(x)=x 2sin x با استفاده از قوانین داده شده با x متمایز می شود، پاسخ 2 x sin x + xخواهد بود. 2cos x.
تفاوت بین تمایز و مشتق چیست؟• مشتق به نرخ تغییر یک تابع اشاره دارد • تمایز فرآیند یافتن مشتق یک تابع است. |
