مشتق در مقابل دیفرانسیل
در حساب دیفرانسیل، مشتق و دیفرانسیل یک تابع ارتباط نزدیکی دارند اما معانی بسیار متفاوتی دارند و برای نشان دادن دو شیء ریاضی مهم مرتبط با توابع متمایز استفاده می‌شوند.
مشتق چیست؟
مشتق یک تابع میزان تغییر مقدار تابع را با تغییر ورودی آن اندازه می گیرد. در توابع چند متغیره، تغییر در مقدار تابع به جهت تغییر مقادیر متغیرهای مستقل بستگی دارد. بنابراین در چنین مواردی جهت خاصی انتخاب می شود و تابع در آن جهت خاص متمایز می شود.آن مشتق را مشتق جهت دار می نامند. مشتقات جزئی نوع خاصی از مشتقات جهت دار هستند.
مشتق از یک تابع با مقدار برداری f را می توان به عنوان حد [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac تعریف کرد. {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] هرجا که به‌طور متناهی وجود داشته باشد. همانطور که قبلا ذکر شد، این نرخ افزایش تابع f را در امتداد جهت بردار u به ما می دهد. در مورد یک تابع تک مقدار، این به تعریف شناخته شده مشتق، [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\ به 0}\\frac{f کاهش می‌یابد. (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
برای مثال، [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] در همه جا قابل تمایز است، و مشتق برابر با حد، [latex]\\lim_{h است. \\ به 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex]، که برابر با [latex]3x^{2}+4[/latex]. مشتقات توابعی مانند [latex]e^{x}، \\sin x، \\cos x[/latex] در همه جا وجود دارند. آنها به ترتیب برابر با توابع [latex]e^{x}، \\cos x، – \\sin x[/latex] هستند.
این به عنوان اولین مشتق شناخته می شود. معمولاً اولین مشتق تابع f با f نشان داده می شود. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ به 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] مشتق جهتی مرتبه دوم است و مشتق n ام را با f (n) نشان می دهد. برای هر n، [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\ تا 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex]، مشتق n th را تعریف می کند.
دیفرانسیل چیست؟
دیفرانسیل یک تابع نشان دهنده تغییر در تابع نسبت به تغییرات متغیر یا متغیرهای مستقل است. در نماد معمول، برای یک تابع معین f از یک متغیر منفرد x، دیفرانسیل کل مرتبه 1 df با [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex] داده می‌شود. این بدان معنی است که برای یک تغییر بی نهایت کوچک در x (یعنی d x)، یک تغییر f (1)(x)d x در f وجود خواهد داشت.
با استفاده از محدودیت ها می توان به این تعریف به شرح زیر رسید. فرض کنید ∆ x تغییر در x در یک نقطه دلخواه x و ∆ f تغییر متناظر در تابع f است. می توان نشان داد که ∆ f=f (1)(x)∆ x + ε، که در آن ϵ خطا است. اکنون، حد ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (با استفاده از تعریف قبلی مشتق) و بنابراین، ∆ x→ 0 ε/ ∆ x=0. بنابراین، ممکن است نتیجه بگیرید که، ∆ x→ 0 ε=0. حال، با نشان دادن ∆ x→ 0 ∆ f به عنوان d f و ∆ x→ 0 ∆ x به عنوان d x، تعریف دیفرانسیل به طور دقیق به دست می‌آید.
برای مثال، دیفرانسیل تابع [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] [latex](3x^{2}+4)dx[/است. لاتکس].
در مورد توابع دو یا چند متغیر، دیفرانسیل کل یک تابع به عنوان مجموع دیفرانسیل ها در جهات هر یک از متغیرهای مستقل تعریف می شود. از نظر ریاضی، می توان آن را به صورت [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex] بیان کرد..
تفاوت بین مشتق و دیفرانسیل چیست؟
• مشتق به نرخ تغییر یک تابع اشاره دارد در حالی که دیفرانسیل به تغییر واقعی تابع اشاره دارد، زمانی که متغیر مستقل در معرض تغییر قرار می گیرد.
• مشتق با [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ داده می‌شود. h}[/latex]، اما دیفرانسیل با [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex] داده می‌شود.
