معادله تفاوت در مقابل معادله دیفرانسیل
یک پدیده طبیعی را می توان به صورت ریاضی با توابع تعدادی متغیر و پارامترهای مستقل توصیف کرد. به خصوص زمانی که آنها با تابعی از موقعیت مکانی و زمان بیان شوند، معادلاتی به دست می آید. تابع ممکن است با تغییر در متغیرهای مستقل یا پارامترها تغییر کند. تغییر بی نهایت کوچکی که در تابع با تغییر یکی از متغیرهای آن اتفاق می افتد، مشتق آن تابع نامیده می شود.
معادله دیفرانسیل هر معادله ای است که مشتقات یک تابع و همچنین خود تابع را در خود دارد.یک معادله دیفرانسیل ساده همان قانون دوم حرکت نیوتن است. اگر جسمی به جرم m با شتاب «a» حرکت کند و با نیروی F به آن وارد شود، قانون دوم نیوتن به ما می گوید که F=ma. در اینجا دوباره، "a" با زمان تغییر می کند، می توانیم "a" را به صورت بازنویسی کنیم. a=dv/dt; v سرعت است. سرعت تابع مکان و زمان است، یعنی v=ds/dt. بنابراین 'a'=d2s/dt2
با در نظر گرفتن این موارد می توانیم قانون دوم نیوتن را به عنوان یک معادله دیفرانسیل بازنویسی کنیم؛
«F» به عنوان تابعی از v و t – F(v, t)=mdv/dt، یا
'F' به عنوان تابعی از s و t - F(s، ds/dt، t)=m d2s/dt2
دو نوع معادله دیفرانسیل وجود دارد. معادله دیفرانسیل معمولی، به اختصار ODE یا معادله دیفرانسیل جزئی، به اختصار PDE. معادله دیفرانسیل معمولی مشتقات معمولی (مشتقات تنها یک متغیر) در خود خواهد داشت. معادله دیفرانسیل جزئی مشتقات دیفرانسیل (مشتقات بیش از یک متغیر) در خود خواهد داشت.
به عنوان مثال F=m d2s/dt2 یک ODE است، در حالی که α2 d 2u/dx2=du/dt یک PDE است، مشتقاتی از t و x دارد.
معادله دیفرانسیل همان معادله دیفرانسیل است اما ما به آن در زمینه های مختلف نگاه می کنیم. در معادلات دیفرانسیل، متغیر مستقل مانند زمان در چارچوب سیستم زمان پیوسته در نظر گرفته می شود. در سیستم زمان گسسته، تابع را معادله تفاضل می نامیم.
معادله تفاوت تابعی از تفاوت هاست. تفاوت در متغیرهای مستقل سه نوع است. دنباله اعداد، سیستم دینامیکی گسسته و تابع تکرار شونده.
در دنباله اعداد، تغییر به صورت بازگشتی با استفاده از یک قانون برای مرتبط کردن هر عدد در دنباله به اعداد قبلی در دنباله ایجاد می شود.
معادله تفاوت در یک سیستم دینامیکی گسسته مقداری سیگنال ورودی گسسته می گیرد و سیگنال خروجی تولید می کند.
معادله تفاوت یک نقشه تکراری برای تابع تکرار شده است.به عنوان مثال، y0، f(y0)، f(f (y0))، f(f(f(y0)))، …. دنباله یک تابع تکرار شده است. f(y0) اولین تکرار از y0 است تکرار k-ام با fk نشان داده می شود (y0).
