Riemann Integral vs Lebesgue Integral
ادغام یک موضوع اصلی در حساب دیفرانسیل و انتگرال است. در یک مفهوم گسترده تر، یکپارچگی را می توان به عنوان فرآیند معکوس تمایز در نظر گرفت. هنگام مدل‌سازی مسائل دنیای واقعی، نوشتن عبارات مشتق‌شده آسان است. در چنین شرایطی، عملیات یکپارچه سازی برای یافتن تابعی که مشتق خاصی را ارائه می دهد، مورد نیاز است.
از زاویه ای دیگر، ادغام فرآیندی است که حاصلضرب تابع ƒ(x) و δx را خلاصه می کند، جایی که δx تمایل به یک حد معین دارد. به همین دلیل است که از نماد ادغام به صورت ∫ استفاده می کنیم. نماد ∫ در واقع همان چیزی است که با کشش حرف s برای اشاره به جمع به دست می آوریم.
انتگرال ریمان
یک تابع y=ƒ(x) را در نظر بگیرید. انتگرال y بین a و b، جایی که a و b به مجموعه x تعلق دارند، به صورت b ∫ a ƒ(x) dx نوشته می شود.=[F (x)] a → b =F (b) – F (a). به این انتگرال معین تابع با ارزش و پیوسته y=ƒ(x) بین a و b می گویند. این ناحیه زیر منحنی بین a و b را نشان می دهد. به این انتگرال ریمان نیز می گویند. انتگرال ریمان توسط برنهارد ریمان ایجاد شد. انتگرال ریمان یک تابع پیوسته بر اساس معیار جردن است، بنابراین به عنوان حد مجموع ریمان تابع نیز تعریف می شود. برای یک تابع با ارزش واقعی تعریف شده در یک بازه بسته، انتگرال ریمان تابع با توجه به پارتیشن x1، x2، …، x n تعریف شده در بازه [a, b] و t1، t2، …، t n، جایی که xi ≤ ti ≤ xi+1 برای هر i ε {1، 2، …، n}، مجموع ریمان به صورت Σi=o تا n-1 ƒ(ti تعریف می شود)(xi+1 – xi).
انتگرال Lebesgue
Lebesgue نوع دیگری از انتگرال است که طیف وسیعی از موارد را نسبت به انتگرال ریمان پوشش می دهد. انتگرال lebesgue توسط Henri Lebesgue در سال 1902 معرفی شد.
چرا باید انتگرال دیگری را مطالعه کنیم؟
اجازه دهید تابع مشخصه را در نظر بگیریم ƒA (x)={0 اگر، x نه ε A1 اگر، x ε A روی مجموعه A. سپس ترکیب خطی محدودی از توابع مشخصه، که به صورت F (x)=Σ ai تعریف می شود ƒ E i(x) تابع ساده نامیده می شود اگر E i برای هر i قابل اندازه گیری باشد. انتگرال Lebesgue F (x) روی E با E∫ ƒ(x)dx نشان داده می شود. تابع F (x) قابل ادغام ریمان نیست. بنابراین انتگرال Lebesgue عبارت است از انتگرال ریمان که دارای محدودیت هایی برای توابع قابل ادغام است.
تفاوت بین انتگرال ریمان و انتگرال لبگ چیست؟
· انتگرال Lebesgue شکل تعمیم انتگرال ریمان است.
· انتگرال Lebesgue اجازه می دهد تا بی نهایت ناپیوستگی قابل شمارش باشد، در حالی که انتگرال ریمان تعداد محدودی از ناپیوستگی ها را مجاز می کند.
