انتگرال معین در مقابل انتگرال نامعین
حساب دیفرانسیل و انتگرال شاخه مهمی از ریاضیات است و تمایز نقش مهمی در حساب دیفرانسیل و انتگرال دارد. فرآیند معکوس تمایز به عنوان انتگرال شناخته می شود، و معکوس به عنوان انتگرال شناخته می شود، یا به زبان ساده، معکوس تمایز یک انتگرال می دهد. بر اساس نتایجی که تولید می کنند انتگرال ها به دو دسته تقسیم می شوند. انتگرال معین و نامعین.
بیشتر درباره انتگرال های نامعین
انتگرال نامعین بیشتر یک شکل کلی از ادغام است و می توان آن را به عنوان ضد مشتق تابع در نظر گرفته تفسیر کرد.فرض کنید با تفکیک F، f، و ادغام f انتگرال را به دست می‌دهد. اغلب به صورت F(x)=∫ƒ(x)dx یا F=∫ƒ dx نوشته می شود که در آن F و ƒ هر دو توابع x هستند و F قابل تمایز است. در شکل فوق، انتگرال رایمان نامیده می شود و تابع حاصل با یک ثابت دلخواه همراه است. یک انتگرال نامعین اغلب خانواده ای از توابع را تولید می کند. بنابراین، انتگرال نامعین است.
انتگرال ها و فرآیند یکپارچه سازی هسته اصلی حل معادلات دیفرانسیل هستند. با این حال، برخلاف تمایز، ادغام همیشه از یک روال واضح و استاندارد پیروی نمی کند. گاهی اوقات، راه حل را نمی توان به صراحت بر اساس عملکرد ابتدایی بیان کرد. در آن صورت، راه حل تحلیلی اغلب به شکل یک انتگرال نامعین ارائه می شود.
بیشتر درباره انتگرال های معین
انتگرال های معین همتاهای بسیار ارزشمند انتگرال های نامعین هستند که در آن فرآیند یکپارچه سازی در واقع یک عدد محدود تولید می کند.می توان آن را به صورت گرافیکی به عنوان ناحیه محدود شده توسط منحنی تابع ƒ در یک بازه معین تعریف کرد. هر زمان که ادغام در یک بازه مشخص از متغیر مستقل انجام شود، ادغام یک مقدار معین تولید می کند که اغلب به صورت a∫bƒ(x) نوشته می شود. dx یا a∫b ƒdx.
انتگرال های نامعین و انتگرال های معین از طریق اولین قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال به هم پیوسته اند و این اجازه می دهد تا انتگرال معین با استفاده از انتگرال های نامعین محاسبه شود. قضیه عبارت است از a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) که در آن F و ƒ هر دو تابع x هستند، و F در بازه (a, b) قابل تمایز است. با در نظر گرفتن فاصله، a و b به ترتیب به عنوان حد پایین و حد بالا شناخته می شوند.
به جای توقف فقط با توابع واقعی، ادغام را می توان به توابع پیچیده گسترش داد و آن انتگرال ها را انتگرال های کانتور می نامند، که در آن ƒ تابعی از متغیر مختلط است.
تفاوت بین انتگرال معین و نامعین چیست؟
انتگرال های نامعین نشان دهنده ضد مشتق یک تابع، و اغلب، یک خانواده از توابع به جای یک راه حل معین هستند. در انتگرال های معین، ادغام یک عدد محدود به دست می دهد.
انتگرال های نامعین یک متغیر دلخواه را به هم مرتبط می کنند (از این رو خانواده توابع) و انتگرال های معین یک ثابت دلخواه ندارند، بلکه دارای یک حد بالا و یک حد پایین ادغام هستند.
انتگرال نامعین معمولاً یک راه حل کلی برای معادله دیفرانسیل می دهد.
