معادله خطی در مقابل معادله غیرخطی
در ریاضیات، معادلات جبری معادلاتی هستند که با استفاده از چند جمله ای شکل می گیرند. هنگامی که به طور صریح نوشته شود، معادلات به شکل P(x)=0 خواهند بود، که در آن x بردار n متغیر ناشناخته و P یک چند جمله ای است. برای مثال، P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 یک معادله جبری در دو متغیر است که به صراحت نوشته شده است.. همچنین، (x+y)3 =3x2y – 3zy4 یک معادله جبری است، اما به شکل ضمنی و به شکل Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy 2 +3zy4=0، یک بار به صراحت نوشته شده است.
یک ویژگی مهم معادله جبری درجه آن است. به عنوان بالاترین توان عبارات موجود در معادله تعریف شده است. اگر یک جمله از دو یا چند متغیر تشکیل شده باشد، مجموع توان هر متغیر به عنوان توان آن عبارت در نظر گرفته می شود. توجه کنید که طبق این تعریف P(x, y)=0 درجه 5 است، در حالی که Q(x, y, z)=0 درجه 5 است.
معادلات خطی و معادلات غیرخطی دو قسمتی هستند که بر روی مجموعه معادلات جبری تعریف شده اند. درجه معادله عاملی است که آنها را از یکدیگر متمایز می کند.
معادله خطی چیست؟
یک معادله خطی یک معادله جبری درجه 1 است. برای مثال، 4x + 5=0 معادله خطی یک متغیر است. x + y + 5z=0 و 4x=3w + 5y + 7z معادلات خطی 3 و 4 متغیر هستند. به طور کلی، یک معادله خطی از n متغیر به شکل m1x1 + m2x 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =ب.در اینجا، xi متغیرهای مجهول هستند، mi و b اعداد واقعی هستند که هر یک از mi غیر صفر است.
چنین معادله ای یک ابر صفحه در فضای اقلیدسی n بعدی را نشان می دهد. به طور خاص، یک معادله خطی دو متغیره نشان دهنده یک خط مستقیم در صفحه دکارتی و یک معادله خطی سه متغیره، صفحه ای را در فضای 3 اقلیدسی نشان می دهد.
معادله غیرخطی چیست؟
معادله درجه دوم یک معادله جبری است که خطی نیست. به عبارت دیگر، یک معادله غیرخطی یک معادله جبری درجه 2 یا بالاتر است. x2 + 3x + 2=0 یک معادله غیرخطی تک متغیری است. x2 + y3+ 3xy=4 و 8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 نمونه‌هایی از معادلات غیرخطی 3 و 4 متغیر هستند.
معادله غیرخطی درجه دوم معادله درجه دوم نامیده می شود. اگر درجه 3 باشد به آن معادله مکعب می گویند.معادلات درجه 4 و درجه 5 را به ترتیب معادلات کوارتیک و پنجاه می گویند. ثابت شده است که یک روش تحلیلی برای حل معادله غیرخطی درجه 5 وجود ندارد و این برای هر درجه بالاتر نیز صادق است. معادلات غیرخطی قابل حل سطوح فوق العاده ای را نشان می دهند که فوق صفحه نیستند.
تفاوت بین معادله خطی و معادله غیرخطی چیست؟
• یک معادله خطی یک معادله جبری درجه 1 است، اما یک معادله غیرخطی معادله جبری درجه 2 یا بالاتر است.
• حتی اگر هر معادله خطی از نظر تحلیلی قابل حل است، در معادلات غیرخطی چنین نیست.
• در فضای اقلیدسی n بعدی، فضای حل یک معادله خطی متغیر n یک سطح فوق العاده است، در حالی که فضای حل معادله غیرخطی n-متغیر یک سطح فوق العاده است، که یک صفحه فوق العاده نیست. (کوادریکس، سطوح مکعبی و غیره)
