معادلات دیفرانسیل خطی در مقابل غیرخطی
معادله ای حاوی حداقل یک ضریب دیفرانسیل یا مشتق از یک متغیر مجهول به عنوان معادله دیفرانسیل شناخته می شود. یک معادله دیفرانسیل می تواند خطی یا غیر خطی باشد. هدف این مقاله توضیح این است که معادله دیفرانسیل خطی چیست، معادله دیفرانسیل غیرخطی چیست و چه تفاوتی بین معادلات دیفرانسیل خطی و غیرخطی وجود دارد.
از زمان توسعه حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن هجدهم توسط ریاضیدانانی مانند نیوتن و لایبنیتس، معادلات دیفرانسیل نقش مهمی در داستان ریاضیات ایفا کرده است.معادلات دیفرانسیل به دلیل دامنه کاربردشان در ریاضیات از اهمیت بالایی برخوردار هستند. معادلات دیفرانسیل در قلب هر مدلی است که برای توضیح هر سناریو یا رویدادی در جهان ایجاد می کنیم، چه در فیزیک، مهندسی، شیمی، آمار، تجزیه و تحلیل مالی یا زیست شناسی (لیست بی پایان است). در واقع، تا زمانی که حساب دیفرانسیل و انتگرال به یک نظریه تثبیت شده تبدیل شود، ابزارهای ریاضی مناسب برای تجزیه و تحلیل مسائل جالب در طبیعت در دسترس نبودند.
معادلات حاصل از یک کاربرد خاص حساب دیفرانسیل و انتگرال ممکن است بسیار پیچیده و گاهی قابل حل نباشد. با این حال، مواردی وجود دارد که می توانیم آنها را حل کنیم، اما ممکن است شبیه به هم و گیج کننده به نظر برسند. بنابراین برای شناسایی آسانتر معادلات دیفرانسیل بر اساس رفتار ریاضی آنها دسته بندی می شوند. خطی و غیرخطی یکی از این دسته بندی ها است. مهم است که تفاوت بین معادلات دیفرانسیل خطی و غیرخطی شناسایی شود.
معادله دیفرانسیل خطی چیست؟
فرض کنید که f: X→Y و f(x)=y، یک معادله دیفرانسیل بدون عبارات غیر خطی تابع مجهول y و مشتقات آن به عنوان یک معادله دیفرانسیل خطی شناخته می شود.
این شرط را تحمیل می کند که y نمی تواند عبارات شاخص بالاتری مانند y2، y3، … و مضرب مشتقاتی مانند به عنوان
همچنین نمی تواند شامل عبارات غیر خطی مانند Sin y ، e y ^-2 یا ln y باشد. شکل می گیرد،
که در آن y و g توابعی از x هستند. معادله یک معادله دیفرانسیل از مرتبه n است که شاخص مشتق بالاترین مرتبه است.
در یک معادله دیفرانسیل خطی، عملگر دیفرانسیل یک عملگر خطی است و جواب ها یک فضای برداری را تشکیل می دهند. در نتیجه ماهیت خطی مجموعه راه حل ها، ترکیب خطی راه حل ها نیز راه حلی برای معادله دیفرانسیل است. یعنی اگر y1 و y2 راه حل های معادله دیفرانسیل باشند، C1 y 1+ C2 y2 نیز یک راه حل است.
خطی بودن معادله تنها یکی از پارامترهای طبقه بندی است و می توان آن را به معادلات دیفرانسیل همگن یا ناهمگن و معمولی یا جزئی دسته بندی کرد.اگر تابع g=0 باشد، معادله یک معادله دیفرانسیل همگن خطی است. اگر f تابعی از دو یا چند متغیر مستقل (f: X, T→Y) و f(x, t)=y باشد، آنگاه معادله یک معادله دیفرانسیل جزئی خطی است.
روش حل معادله دیفرانسیل به نوع و ضرایب معادله دیفرانسیل بستگی دارد. ساده ترین حالت زمانی رخ می دهد که ضرایب ثابت باشند. مثال کلاسیک برای این مورد، قانون دوم حرکت نیوتن و کاربردهای مختلف آن است. قانون دوم نیوتن یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت تولید می کند.
معادله دیفرانسیل غیرخطی چیست؟
معادلاتی که شامل اصطلاحات غیرخطی هستند به عنوان معادلات دیفرانسیل غیرخطی شناخته می شوند.
همه معادلات دیفرانسیل غیرخطی هستند. حل معادلات دیفرانسیل غیرخطی دشوار است، بنابراین برای به دست آوردن جواب صحیح نیاز به مطالعه دقیق است. در مورد معادلات دیفرانسیل جزئی، بیشتر معادلات جواب کلی ندارند. بنابراین، هر معادله باید به طور مستقل مورد بررسی قرار گیرد.
معادله ناویر-استوکس و معادله اویلر در دینامیک سیالات، معادلات میدان نسبیت عام انیشتین، معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی شناخته شده هستند. گاهی اوقات استفاده از معادله لاگرانژ در یک سیستم متغیر ممکن است منجر به سیستمی از معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی شود.
تفاوت بین معادلات دیفرانسیل خطی و غیرخطی چیست؟
• معادله دیفرانسیل که فقط دارای عبارت های خطی متغیر مجهول یا وابسته و مشتقات آن است، به عنوان معادله دیفرانسیل خطی شناخته می شود. هیچ عبارتی با متغیر وابسته شاخص بالاتر از 1 ندارد و مضرب مشتقات آن را شامل نمی شود. نمی تواند توابع غیرخطی مانند توابع مثلثاتی، تابع نمایی و توابع لگاریتمی با توجه به متغیر وابسته داشته باشد. هر معادله دیفرانسیل که شامل عبارات فوق باشد، یک معادله دیفرانسیل غیرخطی است.
• حل معادلات دیفرانسیل خطی فضای برداری ایجاد می کند و عملگر دیفرانسیل نیز یک عملگر خطی در فضای برداری است.
• حل معادلات دیفرانسیل خطی نسبتا ساده تر است و راه حل های کلی وجود دارد. برای معادلات غیرخطی، در بیشتر موارد، راه حل کلی وجود ندارد و راه حل ممکن است خاص مسئله باشد. این حل را بسیار دشوارتر از معادلات خطی می کند.
