تفاوت بین توزیع دوجمله ای و عادی

2024 نویسنده: Alex Aldridge | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 13:37

توزیع دو جمله ای در مقابل عادی

توزیع احتمال متغیرهای تصادفی نقش مهمی در زمینه آمار ایفا می کند. از میان این توزیع‌های احتمال، توزیع دوجمله‌ای و توزیع نرمال دو مورد از رایج‌ترین توزیع‌ها در زندگی واقعی هستند.

توزیع دو جمله ای چیست؟

توزیع دو جمله ای توزیع احتمال مربوط به متغیر تصادفی X است، که تعداد موفقیت های یک دنباله محدود از آزمایش های مستقل بله/خیر است که هر کدام احتمال موفقیت p دارند. از تعریف X، مشخص است که یک متغیر تصادفی گسسته است. بنابراین، توزیع دو جمله ای نیز گسسته است.

توزیع به صورت X ~ B (n، p) نشان داده می شود که در آن n تعداد آزمایش ها و p احتمال موفقیت است. با توجه به نظریه احتمال، می‌توان نتیجه گرفت که B (n, p) از تابع جرم احتمال [latex] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} پیروی می‌کند (1-p))^{(n-k)}، k=0، 1، 2، …n [/لاتکس]. از این معادله می توان بیشتر نتیجه گرفت که مقدار مورد انتظار X, E(X)=np و واریانس X, V(X)=np (1- p).

برای مثال، آزمایش تصادفی پرتاب یک سکه را 3 بار در نظر بگیرید. موفقیت را به عنوان به دست آوردن H، شکست را به عنوان بدست آوردن T و متغیر تصادفی X را به عنوان تعداد موفقیت در آزمایش تعریف کنید. سپس X ~ B (3، 0.5) و تابع جرم احتمال X توسط [latex] \binom{3}{k} 0 داده شده است.5^{k} (0.5)^{(3-k)}، k=0، 1، 2.[/latex]. بنابراین، احتمال به دست آوردن حداقل 2 H P(X ≥ 2)=P (X=2 یا X=3)=P (X=2) + P (X=3)=^{3 است.} C₂(0.5²)(0.5¹) + ³ C₃(0.5³)(0.5^{0)=0.375 + 0.125=0.5.}

توزیع نرمال چیست؟

توزیع عادی توزیع احتمال پیوسته است که توسط تابع چگالی احتمال، [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi تعریف شده است. \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. پارامترهای [latex] \mu و \\sigma [/latex] نشان‌دهنده میانگین و انحراف استاندارد جمعیت مورد نظر است. وقتی [latex] \mu=0 و \\sigma=1 [/latex] توزیع، توزیع نرمال استاندارد نامیده می‌شود.

این توزیع نرمال نامیده می شود زیرا بیشتر پدیده های طبیعی از توزیع نرمال پیروی می کنند. برای مثال ضریب هوشی جمعیت انسانی به طور معمول توزیع می شود.همانطور که از نمودار مشاهده می شود، یک وجهی، متقارن در مورد میانگین و زنگ شکل است. میانگین، حالت و میانه بر هم منطبق هستند. مساحت زیر منحنی با بخشی از جمعیت مطابقت دارد که یک شرط معین را برآورده می کند.

بخش‌های جمعیت در بازه [لاتکس] (\mu – \\سیگما، \\mu + \\سیگما) [/لاتکس]، [لاتکس] (\mu – 2 \\سیگما، \\mu + 2 \\sigma) [/latex]، [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] تقریباً 68.2٪، 95.6٪ و 99.8٪ هستند. به ترتیب.

تفاوت بین توزیع دو جمله ای و عادی چیست؟

• توزیع دو جمله ای یک توزیع احتمال گسسته است در حالی که توزیع نرمال یک توزیع پیوسته است.
• تابع جرم احتمال توزیع دوجمله ای [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) است. } [/latex]، در حالی که تابع چگالی احتمال توزیع نرمال [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma است. ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
• توزیع دوجمله ای با توزیع نرمال در شرایط خاص تقریب زده می شود، اما نه برعکس.