دو جمله ای در مقابل پواسون
علیرغم این واقعیت، توزیع‌های متعددی در دسته «توزیع‌های احتمال پیوسته» نمونه‌های دوجمله‌ای و مجموعه پواسون برای «توزیع احتمال گسسته» و همچنین در میان نمونه‌های پرکاربرد قرار می‌گیرند. در کنار این واقعیت مشترک، نکات قابل توجهی را می توان برای تقابل این دو توزیع مطرح کرد و باید مشخص کرد که در چه موقعیتی یکی از این موارد به درستی انتخاب شده است.
توزیع دو جمله ای
«توزیع دو جمله ای» توزیع اولیه ای است که برای مواجهه، احتمالات و مسائل آماری استفاده می شود. که در آن اندازه نمونه‌ای از «n» با جایگزینی از اندازه «N» آزمایش‌ها ترسیم می‌شود که از آنها موفقیت «p» حاصل می‌شود.این عمدتاً برای آزمایش‌هایی انجام شده است که دو نتیجه اصلی را ارائه می‌دهند، درست مانند نتایج «بله»، «خیر». برعکس، اگر آزمایش بدون جایگزینی انجام شود، مدل با «توزیع فرا هندسی» مواجه می‌شود که مستقل از هر نتیجه‌ای است. اگرچه «دوجمله‌ای» در این موقعیت نیز وارد عمل می‌شود، اگر جمعیت («N») در مقایسه با «n» بسیار بیشتر باشد و در نهایت گفته شود که بهترین مدل برای تقریب است.
با این حال، در بیشتر مواقع اغلب ما با اصطلاح "آزمایشات برنولی" اشتباه می گیریم. با این وجود، هر دو "دو جمله ای" و "برنولی" در معانی مشابه هستند. هر زمان که «n=1» «آزمایش برنولی» به‌ویژه نامگذاری می‌شود، «توزیع برنولی»
تعریف زیر شکل ساده ای برای آوردن تصویر دقیق بین "دو جمله ای" و "برنولی" است:
«توزیع دو جمله ای» مجموع «آزمایش های برنولی» مستقل و توزیع شده یکنواخت است. در زیر به برخی معادلات مهم اشاره شده است که در دسته "دو جمله ای"قرار می گیرند.
عملکرد جرم احتمال (pmf): (k) pk(۱- p)n-k; (k)=[n !] / [k !] [(n-k) !]
میانگین: np
میانگین: np
واریانس: np(1-p)
در این مثال خاص،
'n'- کل جمعیت مدل
'k'- اندازه آن ترسیم شده و از 'n' جایگزین شده است
'p'- احتمال موفقیت برای هر مجموعه آزمایشی که فقط دو نتیجه دارد
توزیع پواسون
از سوی دیگر، این «توزیع پواسون» در رویداد خاص‌ترین مجموع «توزیع دوجمله‌ای» انتخاب شده است. به عبارت دیگر، به راحتی می توان گفت که «پواسون» زیرمجموعه ای از «دو جمله ای» و بیشتر یک حالت محدود کننده «دو جمله ای» است.
هنگامی که یک رویداد در یک بازه زمانی ثابت و با یک نرخ متوسط شناخته شده رخ می دهد، معمول است که مورد را می توان با استفاده از این "توزیع پواسون" مدل کرد. علاوه بر آن، رویداد باید «مستقل» نیز باشد. در حالی که در «دوجمله‌ای» اینطور نیست.
"Poisson" زمانی استفاده می شود که مشکلاتی با "نرخ" ایجاد شود. این همیشه درست نیست، اما بیشتر اوقات درست است.
عملکرد جرم احتمالی (pmf): (λk /k!) e -λ
میانگین: λ
واریانس: λ
تفاوت بین Binomial و Poisson چیست؟
به طور کلی هر دو نمونه هایی از "توزیعات احتمال گسسته" هستند. علاوه بر این، «دوجمله‌ای» توزیع رایجی است که اغلب استفاده می‌شود، با این حال «پواسون» به‌عنوان حالت محدودکننده «دوجمله‌ای» مشتق می‌شود.
با توجه به همه این مطالعات، می‌توان به این نتیجه رسید که بدون در نظر گرفتن «وابستگی»، می‌توانیم «دوجمله‌ای» را برای رویارویی با مشکلات اعمال کنیم، زیرا تقریب خوبی است حتی برای رخدادهای مستقل. در مقابل، «پواسون» در سؤالات/مشکلات با جایگزینی استفاده می‌شود.
در پایان روز، اگر مشکلی با هر دو روش حل شود، که برای سؤال «وابسته» است، باید در هر مورد همان پاسخ را پیدا کرد.
