سری فوریه در مقابل تبدیل فوریه
سری فوریهیک تابع تناوبی را به مجموع سینوس ها و کسینوس ها با فرکانس ها و دامنه های مختلف تجزیه می کند. سری فوریه شاخه ای از تحلیل فوریه است و توسط جوزف فوریه معرفی شده است. تبدیل فوریه یک عملیات ریاضی است که سیگنال را به فرکانس های تشکیل دهنده آن می شکند. سیگنال اصلی که در طول زمان تغییر کرده است، نمایش دامنه زمانی سیگنال نامیده می شود. تبدیل فوریه نمایش دامنه فرکانس یک سیگنال نامیده می شود زیرا به فرکانس بستگی دارد. هم نمایش دامنه فرکانس یک سیگنال و هم فرآیندی که برای تبدیل آن سیگنال به حوزه فرکانس استفاده می شود، تبدیل فوریه نامیده می شود.
سری فوریه چیست؟
همانطور که قبلا ذکر شد، سری فوریه بسط یک تابع تناوبی با استفاده از مجموع نامحدود سینوس و کسینوس است. سری فوریه در ابتدا برای حل معادلات حرارتی ایجاد شد اما بعداً مشخص شد که از همین روش می توان برای حل مجموعه بزرگی از مسائل ریاضی به ویژه مسائلی که شامل معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت است استفاده کرد. در حال حاضر سری فوریه در بسیاری از زمینه ها از جمله مهندسی برق، تحلیل ارتعاشات، آکوستیک، اپتیک، پردازش سیگنال، پردازش تصویر، مکانیک کوانتومی و اقتصاد سنجی کاربرد دارد. سری های فوریه از روابط متعامد توابع سینوس و کسینوس استفاده می کنند. محاسبه و مطالعه سری فوریه به عنوان تجزیه و تحلیل هارمونیک شناخته می شود و هنگام کار با توابع تناوبی دلخواه بسیار مفید است، زیرا اجازه می دهد تا تابع را به عبارات ساده ای که می توان برای به دست آوردن راه حلی برای مسئله اصلی استفاده کرد، تقسیم کرد.
تبدیل فوریه چیست؟
تبدیل فوریهرابطه بین سیگنال در حوزه زمان و نمایش آن در حوزه فرکانس را تعریف می کند. تبدیل فوریه یک تابع را به توابع نوسانی تجزیه می کند. از آنجایی که این یک تبدیل است، سیگنال اصلی را می توان از دانستن تبدیل به دست آورد، بنابراین هیچ اطلاعاتی در این فرآیند ایجاد یا از بین نمی رود. مطالعه سری فوریه در واقع انگیزه ای برای تبدیل فوریه فراهم می کند. به دلیل ویژگی‌های سینوس‌ها و کسینوس‌ها، می‌توان با استفاده از یک انتگرال، مقدار هر موج را که به جمع کمک می‌کند، بازیابی کرد. تبدیل فوریه دارای برخی ویژگی‌های اساسی مانند خطی بودن، ترجمه، مدولاسیون، مقیاس‌بندی، صرف، دوگانگی و پیچیدگی است. تبدیل فوریه در حل معادلات دیفرانسیل استفاده می شود زیرا تبدیل فوریه ارتباط نزدیکی با تبدیل لاپلاس دارد. تبدیل فوریه همچنین در تشدید مغناطیسی هسته ای (NMR) و در انواع دیگر طیف سنجی استفاده می شود.
تفاوت بین سری فوریه و تبدیل فوریه
سری فوریهبسط سیگنال تناوبی به عنوان ترکیب خطی سینوس و کسینوس است در حالی که تبدیل فوریه فرآیند یا تابعی است که برای تبدیل سیگنال‌ها از حوزه زمان به حوزه فرکانس استفاده می‌شود. سری فوریه برای سیگنال های تناوبی تعریف شده است و تبدیل فوریه را می توان برای سیگنال های غیر پریودیک (که بدون تناوب رخ می دهد) اعمال کرد. همانطور که در بالا ذکر شد، مطالعه سری فوریه در واقع انگیزه ای برای تبدیل فوریه فراهم می کند.
