لاپلاس در مقابل تبدیل فوریه
تبدیل لاپلاس و تبدیل فوریه هر دو تبدیل‌های انتگرالی هستند که معمولاً به عنوان روش‌های ریاضی برای حل سیستم‌های فیزیکی مدل‌سازی شده ریاضی استفاده می‌شوند. فرآیند ساده است. یک مدل پیچیده ریاضی با استفاده از تبدیل انتگرال به یک مدل ساده تر و قابل حل تبدیل می شود. هنگامی که مدل ساده‌تر حل شد، تبدیل انتگرال معکوس اعمال می‌شود که جواب مدل اصلی را ارائه می‌دهد.
برای مثال، از آنجایی که اکثر سیستم های فیزیکی معادلات دیفرانسیل را به دست می آورند، می توان آنها را با استفاده از تبدیل انتگرال به معادلات جبری یا به معادلات دیفرانسیل به راحتی قابل حل تبدیل کرد. سپس حل مشکل آسان تر خواهد شد.
تبدیل لاپلاس چیست؟
با توجه به تابع f (t) از یک متغیر واقعی t، تبدیل لاپلاس آن با انتگرال [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- تعریف می شود. st}f(t)dt [/latex] (هر زمان که وجود داشته باشد)، که تابعی از یک متغیر مختلط s است. معمولاً با L {f (t)} نشان داده می شود. تبدیل لاپلاس معکوس تابع F (s) به صورت تابع f (t) در نظر گرفته می شود به گونه ای که L { f (t)}=F (s) و در نماد ریاضی معمول می نویسیم، L-1{ F (s)}=f (t). اگر توابع تهی مجاز نباشند، تبدیل معکوس را می توان منحصر به فرد کرد. می توان این دو را به عنوان عملگرهای خطی تعریف شده در فضای تابع شناسایی کرد، و همچنین به راحتی می توان فهمید که، L -1{ L { f (t)}}=f (t) ، اگر توابع تهی مجاز نباشند.
جدول زیر تبدیل‌های لاپلاس برخی از رایج‌ترین توابع را فهرست می‌کند.
تبدیل فوریه چیست؟
با توجه به تابع f (t) از یک متغیر واقعی t، تبدیل لاپلاس آن با انتگرال [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ تعریف می‌شود. pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (هر زمان که وجود داشته باشد)، و معمولاً با F {f نشان داده می شود (t)}. تبدیل معکوس F -1{ F (α)} توسط انتگرال [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi داده می شود }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. تبدیل فوریه نیز خطی است و می توان آن را به عنوان یک عملگر تعریف شده در فضای تابع در نظر گرفت.
با استفاده از تبدیل فوریه، تابع اصلی را می توان به صورت زیر نوشت، مشروط بر اینکه تابع فقط تعداد محدودی ناپیوستگی داشته باشد و کاملاً یکپارچه شود.
تفاوت بین تبدیل لاپلاس و تبدیل فوریه چیست؟
- تبدیل فوریه یک تابع f (t) به صورت [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / تعریف می‌شود \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex]، در حالی که تبدیل لاپلاس آن به صورت [latex] F(s)=\\int_{ تعریف شده است. 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- تبدیل فوریه فقط برای توابع تعریف شده برای همه اعداد واقعی تعریف می شود، در حالی که تبدیل لاپلاس نیازی به تعریف تابع در مجموعه اعداد حقیقی منفی ندارد.
- یک مورد خاص از تبدیل لاپلاس است. مشاهده می شود که هر دو برای اعداد حقیقی غیر منفی منطبق هستند. (یعنی s در لاپلاس را iα + β بگیرید که α و β واقعی هستند به طوری که e β=1/ √(2ᴫ))
- هر تابعی که تبدیل فوریه دارد، تبدیل لاپلاس خواهد داشت، اما نه برعکس.
تبدیل فوریه
