عملکرد گسسته در مقابل تابع پیوسته
توابع یکی از مهم‌ترین کلاس‌های اشیاء ریاضی هستند که تقریباً در همه زیر شاخه‌های ریاضیات به طور گسترده مورد استفاده قرار می‌گیرند. همانطور که از نام آنها پیداست، هم توابع گسسته و هم توابع پیوسته دو نوع خاص از توابع هستند.
تابعیک رابطه بین دو مجموعه است که به گونه ای تعریف شده است که برای هر عنصر در مجموعه اول، مقدار مربوط به آن در مجموعه دوم منحصر به فرد است. فرض کنید f تابعی باشد که از مجموعه A به مجموعه B تعریف شده است. سپس برای هر x ϵ A، نماد f (x) مقدار منحصر به فرد در مجموعه B را نشان می دهد که با x مطابقت دارد.به آن تصویر x زیر f می گویند. بنابراین، یک رابطه f از A به B یک تابع است، اگر و فقط اگر برای هر xϵ A و y ϵ A. اگر x=y پس f (x)=f (y). مجموعه A دامنه تابع f نامیده می شود و مجموعه ای است که تابع در آن تعریف شده است.
به عنوان مثال، رابطه f از R به R را در نظر بگیرید که با f (x)=x + 2 برای هر xϵ A تعریف شده است. این تابعی است که دامنه آن R است، زیرا برای هر عدد واقعی x و y، x=y دلالت بر f (x)=x + 2=y + 2=f (y) دارد. اما رابطه g از N به N که با g (x)=a تعریف می شود، جایی که 'a' یک عامل اول x است تابعی به عنوان g (6)=3، و همچنین g (6)=2 نیست.
یک تابع گسسته چیست؟
یک تابع گسسته تابعی است که دامنه آن حداکثر قابل شمارش است. به سادگی، این بدان معنی است که می توان لیستی ایجاد کرد که شامل تمام عناصر دامنه باشد.
هر مجموعه متناهی حداکثر قابل شمارش است. مجموعه اعداد طبیعی و مجموعه اعداد گویا نمونه هایی برای حداکثر مجموعه های بی نهایت قابل شمارش هستند.مجموعه اعداد حقیقی و مجموعه اعداد غیر منطقی حداکثر قابل شمارش نیستند. هر دو مجموعه غیرقابل شمارش هستند. این بدان معناست که نمی‌توان فهرستی تهیه کرد که شامل همه عناصر آن مجموعه باشد.
یکی از رایج ترین توابع گسسته، تابع فاکتوریل است. f:N U{0}→N به صورت بازگشتی با f (n)=n f (n-1) برای هر n ≥ 1 و f (0)=1 تعریف شده است تابع فاکتوریل نامیده می شود. توجه داشته باشید که دامنه N U{0} آن حداکثر قابل شمارش است.
یک تابع پیوسته چیست؟
بگذارید f تابعی باشد به طوری که برای هر k در دامنه f، f (x)→ f (k) به صورت x → k باشد. سپس f یک تابع پیوسته است. این بدان معناست که می‌توان f (x) را به طور دلخواه به f (k) نزدیک کرد، با نزدیک کردن x به اندازه کافی به k برای هر k در دامنه f.
تابع f (x)=x + 2 را روی R در نظر بگیرید. می توان دید که به صورت x → k، x + 2 → k + 2 است که f (x) → f (k) است. بنابراین، f یک تابع پیوسته است. حال، g را روی اعداد حقیقی مثبت g (x)=1 اگر x > 0 و g (x)=0 اگر x=0 در نظر بگیرید.سپس، این تابع یک تابع پیوسته نیست زیرا حد g (x) وجود ندارد (و بنابراین برابر با g (0) نیست) به عنوان x → 0.
تفاوت بین تابع گسسته و پیوسته چیست؟
• یک تابع گسسته تابعی است که دامنه آن حداکثر قابل شمارش است اما لازم نیست در توابع پیوسته اینطور باشد.
• همه توابع پیوسته ƒ این خاصیت را دارند که ƒ(x)→ƒ(k) به صورت x → k برای هر x و برای هر k در دامنه ƒ، اما در برخی از توابع گسسته اینطور نیست..
