تابع توزیع احتمال در مقابل تابع چگالی احتمال
احتمال احتمال وقوع یک رویداد است. این ایده بسیار رایج است و اغلب در زندگی روزمره زمانی که فرصت ها، معاملات و بسیاری موارد دیگر خود را ارزیابی می کنیم، استفاده می شود. بسط این مفهوم ساده به مجموعه بزرگتری از رویدادها کمی چالش برانگیزتر است. برای مثال، نمی‌توانیم به راحتی شانس برنده شدن در قرعه‌کشی را بفهمیم، اما راحت‌تر و نسبتاً شهودی است که بگوییم به احتمال یکی از شش نفر در یک تاس پرتاب می‌شویم عدد شش را به دست آوریم.
وقتی تعداد رویدادهایی که می توانند رخ دهند در حال افزایش است، یا تعداد احتمالات فردی زیاد است، این ایده نسبتاً ساده از احتمال شکست می خورد. بنابراین، قبل از نزدیک شدن به مسائل با پیچیدگی بالاتر، باید یک تعریف ریاضی محکم به آن داده شود.
وقتی تعداد رویدادهایی که می توانند در یک موقعیت اتفاق بیفتند زیاد باشد، غیرممکن است که هر رویداد را به صورت جداگانه مانند نمونه تاس پرتاب شده در نظر بگیرید. از این رو، کل مجموعه رویدادها با معرفی مفهوم متغیر تصادفی خلاصه می شود. متغیری است که می تواند مقادیر رویدادهای مختلف را در آن موقعیت خاص (یا فضای نمونه) فرض کند. این یک مفهوم ریاضی به رویدادهای ساده در موقعیت، و روش ریاضی پرداختن به رویداد می دهد. به طور دقیق تر، یک متغیر تصادفی یک تابع مقدار واقعی بر روی عناصر فضای نمونه است. متغیرهای تصادفی می توانند گسسته یا پیوسته باشند. آنها معمولاً با حروف بزرگ الفبای انگلیسی نشان داده می شوند.
تابع توزیع احتمال (یا به سادگی، توزیع احتمال) تابعی است که مقادیر احتمال را برای هر رویداد اختصاص می دهد. یعنی رابطه ای با احتمالات برای مقادیری که متغیر تصادفی می تواند بگیرد فراهم می کند.تابع توزیع احتمال برای متغیرهای تصادفی گسسته تعریف شده است.
تابع چگالی احتمال معادل تابع توزیع احتمال برای متغیرهای تصادفی پیوسته است، احتمال اینکه یک متغیر تصادفی خاص مقدار معینی را در نظر بگیرد.
اگر X یک متغیر تصادفی گسسته باشد، تابعی که به صورت f (x)=P (X=x) برای هر x در محدوده X داده می شود تابع توزیع احتمال نامیده می شود. یک تابع می تواند به عنوان تابع توزیع احتمال عمل کند اگر و تنها در صورتی که تابع شرایط زیر را برآورده کند.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
یک تابع f (x) که روی مجموعه اعداد واقعی تعریف می شود، تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی پیوسته X نامیده می شود، اگر و فقط اگر،
P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx برای هر ثابت واقعی a و b.
تابع چگالی احتمال باید شرایط زیر را نیز برآورده کند.
1. f (x) ≥ 0 برای همه x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
هم تابع توزیع احتمال و هم تابع چگالی احتمال برای نمایش توزیع احتمالات در فضای نمونه استفاده می شود. معمولاً به این توزیع‌های احتمال می‌گویند.
برای مدل‌سازی آماری، توابع چگالی احتمال استاندارد و توابع توزیع احتمال مشتق شده‌اند. توزیع نرمال و توزیع نرمال استاندارد نمونه هایی از توزیع احتمال پیوسته هستند. توزیع دو جمله ای و توزیع پواسون نمونه هایی از توزیع های احتمال گسسته هستند.
تفاوت بین توزیع احتمال و تابع چگالی احتمال چیست؟
• تابع توزیع احتمال و تابع چگالی احتمال توابعی هستند که در فضای نمونه تعریف شده اند تا مقدار احتمال مربوطه را به هر عنصر اختصاص دهند.
• توابع توزیع احتمال برای متغیرهای تصادفی گسسته و توابع چگالی احتمال برای متغیرهای تصادفی پیوسته تعریف می شوند.
• توزیع مقادیر احتمال (یعنی توزیع های احتمال) به بهترین وجه توسط تابع چگالی احتمال و تابع توزیع احتمال به تصویر کشیده می شود.
• تابع توزیع احتمال را می توان به صورت مقادیر در یک جدول نشان داد، اما این برای تابع چگالی احتمال ممکن نیست زیرا متغیر پیوسته است.
• هنگام ترسیم، تابع توزیع احتمال یک نمودار میله ای می دهد در حالی که تابع چگالی احتمال یک منحنی می دهد.
• ارتفاع/طول میله‌های تابع توزیع احتمال باید به ۱ اضافه شود در حالی که مساحت زیر منحنی تابع چگالی احتمال باید به ۱ اضافه شود.
• در هر دو مورد، همه مقادیر تابع باید غیرمنفی باشند.
