متغیرهای تصادفی در مقابل توزیع احتمال
آزمایش‌های آماری آزمایش‌های تصادفی هستند که می‌توانند به طور نامحدود با مجموعه‌ای از نتایج مشخص تکرار شوند. هم متغیرهای تصادفی و هم توزیع‌های احتمال با چنین آزمایش‌هایی مرتبط هستند. برای هر متغیر تصادفی، یک توزیع احتمال مرتبط با تابعی به نام تابع توزیع تجمعی تعریف شده است.
متغیر تصادفی چیست؟
یک متغیر تصادفی تابعی است که مقادیر عددی را به نتایج یک آزمایش آماری اختصاص می دهد. به عبارت دیگر، تابعی است که از فضای نمونه یک آزمایش آماری به مجموعه اعداد واقعی تعریف می‌شود.
برای مثال، آزمایش تصادفی دوبار ورق زدن یک سکه را در نظر بگیرید. نتایج ممکن عبارتند از HH، HT، TH و TT (H – heads، T – tales). فرض کنید متغیر X تعداد هدهای مشاهده شده در آزمایش باشد. سپس X می تواند مقادیر 0، 1 یا 2 را بگیرد و یک متغیر تصادفی است. در اینجا، متغیر تصادفی X مجموعه S={HH، HT، TH، TT} (فضای نمونه) را به مجموعه {0، 1، 2} نگاشت می کند، به گونه ای که HH به 2، HT و TH نگاشت می شود. به 1 و TT به 0 نگاشت می شوند. در نماد تابع، این را می توان به صورت X نوشت: S → R که در آن X(HH)=2، X(HT)=1، X(TH)=1 و X(TT)=0.
دو نوع متغیر تصادفی وجود دارد: گسسته و پیوسته، بر این اساس تعداد مقادیر ممکنی که یک متغیر تصادفی می تواند فرض کند حداکثر قابل شمارش است یا خیر. در مثال قبلی، متغیر تصادفی X یک متغیر تصادفی گسسته است زیرا {0، 1، 2} یک مجموعه محدود است. حال، آزمایش آماری یافتن وزن دانش آموزان در یک کلاس را در نظر بگیرید. فرض کنید Y متغیر تصادفی تعریف شده به عنوان وزن دانش آموز باشد. Y می تواند هر مقدار واقعی را در یک بازه زمانی خاص بگیرد. بنابراین، Y یک متغیر تصادفی پیوسته است.
توزیع احتمال چیست؟
توزیع احتمال تابعی است که احتمال یک متغیر تصادفی را با مقادیر معینی توصیف می کند.
تابعی به نام تابع توزیع تجمعی (F) را می توان از مجموعه اعداد واقعی به مجموعه اعداد حقیقی به صورت F(x)=P(X ≤ x) تعریف کرد (احتمال X کمتر از یا برابر x) برای هر نتیجه ممکن x. اکنون تابع توزیع تجمعی X در مثال اول می تواند به صورت F(a)=0 نوشته شود، اگر a<0; F(a)=0.25، اگر 0≤a<1; F(a)=0.75، اگر 1≤a<2 و F(a)=1، اگر a≥2.
در مورد متغیرهای تصادفی گسسته، یک تابع را می توان از مجموعه نتایج ممکن به مجموعه اعداد واقعی تعریف کرد به گونه ای که ƒ(x)=P(X=x) (احتمال X) برابر با x) برای هر نتیجه ممکن x. این تابع خاص ƒ تابع جرم احتمال متغیر تصادفی X نامیده می شود.حالا تابع جرم احتمال X در اولین مثال خاص را می توان به صورت ƒ(0)=0.25، ƒ(1)=0.5، ƒ(2)=0.25 و ƒ(x)=0 در غیر این صورت نوشت. بنابراین، تابع جرم احتمال همراه با تابع توزیع تجمعی، توزیع احتمال X را در مثال اول توصیف می‌کند.
در مورد متغیرهای تصادفی پیوسته، تابعی به نام تابع چگالی احتمال (ƒ) را می توان به صورت ƒ(x)=dF(x)/dx برای هر x تعریف کرد که در آن F تابع توزیع تجمعی است. متغیر تصادفی پیوسته به راحتی می توان دید که این تابع ∫ƒ(x)dx=1 را برآورده می کند. تابع چگالی احتمال همراه با تابع توزیع تجمعی، توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته را توصیف می کند. برای مثال، توزیع نرمال (که یک توزیع احتمال پیوسته است) با استفاده از تابع چگالی احتمال ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x-) توصیف می شود. μ)]2/(2σ2)).
تفاوت بین متغیرهای تصادفی و توزیع احتمال چیست؟
• متغیر تصادفی تابعی است که مقادیر یک فضای نمونه را به یک عدد واقعی مرتبط می کند.
• توزیع احتمال تابعی است که مقادیری را که یک متغیر تصادفی می تواند بگیرد به احتمال وقوع مربوطه مرتبط می کند.
