متوازی الاضلاع در مقابل لوزی
متوازی الاضلاع و لوزی چهار ضلعی هستند. هندسه این اشکال برای انسان برای هزاران سال شناخته شده بود. این موضوع به صراحت در کتاب "عناصر" نوشته شده توسط ریاضیدان یونانی اقلیدس پرداخته شده است.
متوازی الاضلاع
متوازی الاضلاع را می توان به عنوان شکل هندسی با چهار ضلع، با اضلاع مخالف موازی با یکدیگر تعریف کرد. به طور دقیق تر، یک چهار ضلعی با دو جفت ضلع موازی است. این ماهیت موازی ویژگی‌های هندسی زیادی به متوازی الاضلاع می‌دهد.
یک چهار ضلعی متوازی الاضلاع است اگر مشخصه های هندسی زیر پیدا شوند.
• طول دو جفت ضلع مقابل برابر است. (AB=DC، AD=قبل از میلاد)
• دو جفت زاویه مقابل هم اندازه هستند. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• اگر زوایای مجاور مکمل باشند [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi راد[/latex]
• یک جفت ضلع که در مقابل یکدیگر قرار دارند، موازی و از نظر طول مساوی هستند. (AB=DC و AB∥DC)
• مورب ها یکدیگر را نصف می کنند (AO=OC، BO=OD)
• هر مورب چهار ضلعی را به دو مثلث متجانس تقسیم می کند. (∆ADB ≡ ∆BCD، ∆ABC ≡ ∆ADC)
بعلاوه، مجموع مربعات اضلاع برابر است با مجموع مربعات مورب. این قانون گاهی اوقات به عنوان قانون متوازی الاضلاع نامیده می شود و کاربردهای گسترده ای در فیزیک و مهندسی دارد. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
هر یک از ویژگی های بالا را می توان به عنوان ویژگی استفاده کرد، پس از اینکه مشخص شد که چهارضلعی متوازی الاضلاع است.
مساحت متوازی الاضلاع را می توان با حاصل ضرب طول یک ضلع و ارتفاع ضلع مقابل محاسبه کرد. بنابراین، مساحت متوازی الاضلاع را می توان به صورتبیان کرد.
مساحت متوازی الاضلاع=قاعده × ارتفاع=AB×h
مساحت متوازی الاضلاع مستقل از شکل متوازی الاضلاع منفرد است. فقط به طول قاعده و ارتفاع عمود بستگی دارد.
اگر اضلاع متوازی الاضلاع را بتوان با دو بردار نشان داد، مساحت را می توان با بزرگی حاصلضرب بردار (ضرب متقاطع) دو بردار مجاور به دست آورد.
اگر اضلاع AB و AD به ترتیب با بردارهای ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) و ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) نشان داده شوند، مساحت متوازی الاضلاع با [latex]\left | داده می شود \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex]، که α زاویه بین [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] و [latex]\overrightarrow{AD}[/latex] است.
در زیر برخی از ویژگی های پیشرفته متوازی الاضلاع آمده است؛
• مساحت متوازی الاضلاع دو برابر مساحت مثلثی است که توسط هر یک از قطرهای آن ایجاد شده است.
• مساحت متوازی الاضلاع به هر خطی که از نقطه وسط می گذرد به نصف تقسیم می شود.
• هر تبدیل وابسته غیر منحط یک متوازی الاضلاع را به متوازی الاضلاع دیگر می برد
• متوازی الاضلاع دارای تقارن چرخشی از مرتبه 2 است
• مجموع فواصل هر نقطه داخلی متوازی الاضلاع به اضلاع مستقل از محل نقطه است
لوزی
چهارضلعی که تمام اضلاع آن مساوی باشد به عنوان لوزی شناخته می شود. همچنین به عنوان چهار ضلعی متساوی الاضلاع نامیده می شود. در نظر گرفته می شود که شکل الماسی دارد، شبیه به شکلی که در کارت های بازی وجود دارد.
لوزی نیز حالت خاصی از متوازی الاضلاع است. می توان آن را متوازی الاضلاع با چهار ضلع برابر در نظر گرفت. و علاوه بر خواص متوازی الاضلاع، دارای خواص ویژه زیر است.
• مورب های لوزی همدیگر را در زاویه قائم نصف می کنند. مورب ها عمود بر هم هستند.
• مورب ها دو زاویه داخلی مخالف را نصف می کنند.
• حداقل دو ضلع مجاور از نظر طول برابر باشند.
مساحت لوزی را می توان به همان روش متوازی الاضلاع محاسبه کرد.
تفاوت متوازی الاضلاع و لوزی چیست؟
• متوازی الاضلاع و لوزی چهار ضلعی هستند. لوزی حالت خاصی از متوازی الاضلاع است.
• مساحت هر یک را می توان با استفاده از فرمول پایه × ارتفاع محاسبه کرد.
• در نظر گرفتن قطرها؛
– قطرهای متوازی الاضلاع یکدیگر را نصف می کنند و متوازی الاضلاع را نصف می کنند تا دو مثلث متوازن تشکیل دهند.
- مورب های لوزی همدیگر را با زوایای قائم نصف می کنند و مثلث های تشکیل شده متساوی الاضلاع هستند.
• در نظر گرفتن زوایای داخلی؛
- زوایای داخلی متضاد متوازی الاضلاع از نظر اندازه برابر هستند. دو زاویه داخلی مجاور مکمل هستند.
- زوایای داخلی لوزی توسط قطرها نصف می شوند.
• در نظر گرفتن طرفین؛
– در متوازی الاضلاع، مجموع مربعات اضلاع برابر است با مجموع مربعات مورب (قانون متوازی الاضلاع).
- از آنجایی که هر چهار ضلع در یک لوزی برابر هستند، چهار برابر مربع یک ضلع برابر است با مجموع مربع های قطر.
