متوازی الاضلاع در مقابل چهارضلعی
چهارضلعی ها و متوازی الاضلاع چند ضلعی هایی هستند که در هندسه اقلیدسی یافت می شوند. متوازی الاضلاع حالت خاصی از چهارضلعی است. چهارضلعی ها می توانند مسطح (2 بعدی) یا سه بعدی باشند در حالی که متوازی الاضلاع همیشه مسطح هستند.
چهارضلعی
چهارضلعی چند ضلعی با چهار ضلع است. چهار رأس دارد و مجموع زوایای داخلی آن 3600 (2π راد) است. چهار ضلعی ها به دسته های خود متقاطع و چهارضلعی ساده طبقه بندی می شوند. چهار ضلعی های خود متقاطع دارای دو یا چند ضلع هستند که از یکدیگر عبور می کنند و اشکال هندسی کوچکتری دارند (مانند مثلث هایی که در داخل چهار ضلعی تشکیل می شوند).
چهارضلعی های ساده نیز به چهارضلعی محدب و مقعر تقسیم می شوند. چهارضلعی های مقعر دارای اضلاع مجاور هستند که زوایای بازتابی در داخل شکل ایجاد می کنند. چهارضلعی های ساده ای که در داخل زوایای بازتابی ندارند، چهار ضلعی محدب هستند. چهارضلعی‌های محدب همیشه می‌توانند ضلعی داشته باشند.
بخش عمده ای از هندسه چهارضلعی ها در سطوح اولیه مربوط به چهارضلعی های محدب است. برخی از چهارضلعی ها از دوران دبستان برای ما بسیار آشنا هستند. در زیر نموداری وجود دارد که چهارضلعی های محدب مختلف را نشان می دهد.
متوازی الاضلاع
متوازی الاضلاع را می توان به عنوان شکل هندسی با چهار ضلع، با اضلاع مخالف موازی با یکدیگر تعریف کرد. به طور دقیق تر، یک چهار ضلعی با دو جفت ضلع موازی است. این ماهیت موازی ویژگی‌های هندسی زیادی به متوازی الاضلاع می‌دهد.
یک چهار ضلعی متوازی الاضلاع است اگر مشخصه های هندسی زیر پیدا شوند.
• طول دو جفت ضلع مقابل برابر است. (AB=DC، AD=قبل از میلاد)
• دو جفت زاویه مقابل هم اندازه هستند. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• اگر زوایای مجاور مکمل باشند [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi راد[/latex]
• یک جفت ضلع که در مقابل یکدیگر قرار دارند، موازی و از نظر طول مساوی هستند. (AB=DC و AB∥DC)
• مورب ها یکدیگر را نصف می کنند (AO=OC، BO=OD)
• هر مورب چهار ضلعی را به دو مثلث متجانس تقسیم می کند. (∆ADB ≡ ∆BCD، ∆ABC ≡ ∆ADC)
بعلاوه، مجموع مربعات اضلاع برابر است با مجموع مربعات مورب.این قانون گاهی اوقات به عنوان قانون متوازی الاضلاع نامیده می شود و کاربردهای گسترده ای در فیزیک و مهندسی دارد. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
هر یک از ویژگی های بالا را می توان به عنوان ویژگی استفاده کرد، پس از اینکه مشخص شد که چهارضلعی متوازی الاضلاع است.
مساحت متوازی الاضلاع را می توان با حاصل ضرب طول یک ضلع و ارتفاع ضلع مقابل محاسبه کرد. بنابراین، مساحت متوازی الاضلاع را می توان به صورتبیان کرد.
مساحت متوازی الاضلاع=قاعده × ارتفاع=AB×h
مساحت متوازی الاضلاع مستقل از شکل متوازی الاضلاع منفرد است. فقط به طول قاعده و ارتفاع عمود بستگی دارد.
اگر اضلاع متوازی الاضلاع را بتوان با دو بردار نشان داد، مساحت را می توان با بزرگی حاصلضرب بردار (ضرب متقاطع) دو بردار مجاور به دست آورد.
اگر اضلاع AB و AD به ترتیب با بردارهای ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) و ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) نشان داده شوند، مساحت متوازی الاضلاع با [latex]\left | داده می شود \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex]، که α زاویه بین [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] و [latex]\overrightarrow{AD}[/latex] است.
در زیر برخی از ویژگی های پیشرفته متوازی الاضلاع آمده است؛
• مساحت متوازی الاضلاع دو برابر مساحت مثلثی است که توسط هر یک از قطرهای آن ایجاد شده است.
• مساحت متوازی الاضلاع به هر خطی که از نقطه وسط می گذرد به نصف تقسیم می شود.
• هر تبدیل وابسته غیر منحط یک متوازی الاضلاع را به متوازی الاضلاع دیگر می برد
• متوازی الاضلاع دارای تقارن چرخشی از مرتبه 2 است
• مجموع فواصل هر نقطه داخلی متوازی الاضلاع به اضلاع مستقل از محل نقطه است
تفاوت متوازی الاضلاع و چهارضلعی چیست؟
• چهارضلعی ها چند ضلعی با چهار ضلع هستند (گاهی اوقات چهار ضلعی نامیده می شوند) در حالی که متوازی الاضلاع نوع خاصی از چهار ضلعی است.
• چهارضلعی ها می توانند اضلاع خود را در صفحات مختلف (در فضای سه بعدی) داشته باشند در حالی که همه اضلاع متوازی الاضلاع در یک صفحه قرار دارند (مسطح/دوبعدی).
• زوایای داخلی چهارضلعی می توانند هر مقداری را داشته باشند (از جمله زوایای بازتابی) به طوری که مجموع آنها به 3600 برسد. متوازی الاضلاع فقط می توانند زاویه های مبهم را به عنوان حداکثر نوع زاویه داشته باشند.
• چهار ضلع چهارضلعی می توانند دارای طول های متفاوتی باشند در حالی که اضلاع مقابل متوازی الاضلاع همیشه موازی یکدیگر و از نظر طول برابر هستند.
• هر قطری متوازی الاضلاع را به دو مثلث متوازن تقسیم می کند، در حالی که مثلث هایی که از مورب یک چهارضلعی کلی تشکیل می شوند لزوماً همخوان نیستند.
