مستطیل در مقابل لوزی
لوزی و مستطیل چهار ضلعی هستند. هندسه این اشکال برای انسان برای هزاران سال شناخته شده بود. این موضوع به صراحت در کتاب "عناصر" نوشته شده توسط ریاضیدان یونانی اقلیدس پرداخته شده است.
متوازی الاضلاع
متوازی الاضلاع را می توان به عنوان شکل هندسی با چهار ضلع، با اضلاع مخالف موازی با یکدیگر تعریف کرد. به طور دقیق تر، یک چهار ضلعی با دو جفت ضلع موازی است. این ماهیت موازی ویژگی‌های هندسی زیادی به متوازی الاضلاع می‌دهد.
یک چهار ضلعی متوازی الاضلاع است اگر مشخصه های هندسی زیر پیدا شوند.
• طول دو جفت ضلع مقابل برابر است. (AB=DC، AD=قبل از میلاد)
• دو جفت زاویه مقابل هم اندازه هستند. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• اگر زوایای مجاور مکمل باشند [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi راد[/latex]
• یک جفت ضلع که در مقابل یکدیگر قرار دارند، موازی و از نظر طول مساوی هستند. (AB=DC و AB∥DC)
• مورب ها یکدیگر را نصف می کنند (AO=OC، BO=OD)
• هر مورب چهار ضلعی را به دو مثلث متجانس تقسیم می کند. (∆ADB ≡ ∆BCD، ∆ABC ≡ ∆ADC)
بعلاوه، مجموع مربعات اضلاع برابر است با مجموع مربعات مورب. این قانون گاهی اوقات به عنوان قانون متوازی الاضلاع نامیده می شود و کاربردهای گسترده ای در فیزیک و مهندسی دارد. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
هر یک از ویژگی های بالا را می توان به عنوان ویژگی استفاده کرد، پس از اینکه مشخص شد که چهارضلعی متوازی الاضلاع است.
مساحت متوازی الاضلاع را می توان با حاصل ضرب طول یک ضلع و ارتفاع ضلع مقابل محاسبه کرد. بنابراین، مساحت متوازی الاضلاع را می توان به صورتبیان کرد.
مساحت متوازی الاضلاع=قاعده × ارتفاع=AB×h
مساحت متوازی الاضلاع مستقل از شکل متوازی الاضلاع منفرد است. فقط به طول قاعده و ارتفاع عمود بستگی دارد.
اگر اضلاع متوازی الاضلاع را بتوان با دو بردار نشان داد، مساحت را می توان با بزرگی حاصلضرب بردار (ضرب متقاطع) دو بردار مجاور به دست آورد.
اگر اضلاع AB و AD به ترتیب با بردارهای ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) و ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) نشان داده شوند، مساحت متوازی الاضلاع با [latex]\left | داده می شود \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex]، که α زاویه بین [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] و [latex]\overrightarrow{AD}[/latex] است.
در زیر برخی از ویژگی های پیشرفته متوازی الاضلاع آمده است؛
• مساحت متوازی الاضلاع دو برابر مساحت مثلثی است که توسط هر یک از قطرهای آن ایجاد شده است.
• مساحت متوازی الاضلاع به هر خطی که از نقطه وسط می گذرد به نصف تقسیم می شود.
• هر تبدیل وابسته غیر منحط یک متوازی الاضلاع را به متوازی الاضلاع دیگر می برد
• متوازی الاضلاع دارای تقارن چرخشی از مرتبه 2 است
• مجموع فواصل هر نقطه داخلی متوازی الاضلاع به اضلاع مستقل از محل نقطه است
مستطیل
یک چهار ضلعی با چهار زاویه قائمه به عنوان مستطیل شناخته می شود. این یک مورد خاص از متوازی الاضلاع است که در آن زوایای بین هر دو ضلع مجاور قائمه هستند.
علاوه بر تمام خصوصیات متوازی الاضلاع، هنگام در نظر گرفتن هندسه مستطیل می توان ویژگی های اضافی را تشخیص داد.
• هر زاویه در رئوس یک زاویه قائمه است.
• قطرها از نظر طول مساوی هستند و یکدیگر را نصف می کنند. بنابراین، بخش‌های تقسیم‌شده نیز از نظر طول برابر هستند.
• طول قطرها را می توان با استفاده از قضیه فیثاغورث محاسبه کرد:
PQ2 + PS2 =SQ2
• فرمول مساحت به حاصل ضرب طول و عرض کاهش می یابد.
مساحت مستطیل=طول × عرض
• بسیاری از خواص متقارن روی یک مستطیل یافت می شود، مانند;
– یک مستطیل دایره ای است، جایی که تمام رئوس را می توان در محیط یک دایره قرار داد.
- متساویل است، جایی که همه زوایا برابرند.
- همسان است، جایی که همه گوشه ها در یک مدار تقارن قرار دارند.
- هم تقارن بازتابی و هم تقارن چرخشی دارد.
لوزی
چهارضلعی که تمام اضلاع آن مساوی باشد به عنوان لوزی شناخته می شود. همچنین به عنوان چهار ضلعی متساوی الاضلاع نامیده می شود. در نظر گرفته می شود که شکل الماسی دارد، شبیه به شکلی که در کارت های بازی وجود دارد.
لوزی نیز حالت خاصی از متوازی الاضلاع است. می توان آن را متوازی الاضلاع با چهار ضلع برابر در نظر گرفت. و علاوه بر خواص متوازی الاضلاع، دارای خواص ویژه زیر است.
• مورب های لوزی همدیگر را در زاویه قائم نصف می کنند. مورب ها عمود بر هم هستند.
• مورب ها دو زاویه داخلی مخالف را نصف می کنند.
• حداقل دو ضلع مجاور از نظر طول برابر باشند.
مساحت لوزی را می توان به همان روش متوازی الاضلاع محاسبه کرد.
تفاوت بین لوزی و مستطیل چیست؟
• لوزی و مستطیل چهار ضلعی هستند. مستطیل و لوزی موارد خاصی از متوازی الاضلاع هستند.
• مساحت هر یک را می توان با استفاده از فرمول پایه × ارتفاع محاسبه کرد.
• در نظر گرفتن قطرها؛
- مورب های لوزی همدیگر را در زوایای قائم نصف می کنند و مثلث های تشکیل شده متساوی الاضلاع هستند.
- قطرهای مستطیل از نظر طول مساوی هستند و یکدیگر را نصف می کنند. طول بخش های تقسیم شده برابر است. مورب ها مستطیل را به دو مثلث قائم الزاویه نصف می کنند.
• در نظر گرفتن زوایای داخلی؛
- زوایای داخلی لوزی توسط قطرها نصف می شوند
- هر چهار زاویه داخلی مستطیل قائم الزاویه هستند.
• در نظر گرفتن طرفین؛
- از آنجایی که هر چهار ضلع در یک لوزی برابر هستند، چهار برابر مربع یک ضلع برابر است با مجموع مربع های مورب (با استفاده از قانون متوازی الاضلاع)
– در مستطیل ها، مجموع مربع های دو ضلع مجاور برابر با مربع مورب در انتها است. (قاعده فیثاغورث)
