رویدادهای انحصاری متقابل در مقابل رویدادهای مستقل
مردم اغلب مفهوم رویدادهای منحصر به فرد متقابل را با رویدادهای مستقل اشتباه می گیرند. در واقع، اینها دو چیز متفاوت هستند.
بگذارید A و B هر دو رویداد مرتبط با یک آزمایش تصادفی E باشند. P(A) "احتمال A" نامیده می شود. به طور مشابه، می‌توانیم احتمال B را به عنوان P(B)، احتمال A یا B را به عنوان P(A∪B) و احتمال A و B را به عنوان P(A∩B) تعریف کنیم. سپس، P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
با این حال، گفته می شود که دو رویداد متقابلاً منحصر به فرد هستند اگر وقوع یک رویداد روی دیگری تأثیر نگذارد. به عبارت دیگر، آنها نمی توانند به طور همزمان رخ دهند. بنابراین، اگر دو رویداد A و B متقابل متقابل باشند، A∩B=∅ و بنابراین، P(A∪B)=P(A)+ P(B).
بگذارید A و B دو رویداد در فضای نمونه S باشند. احتمال شرطی A، با توجه به اینکه B رخ داده است، با P(A | B) نشان داده می شود و به صورت تعریف می شود. P(A | B)=P(A∩B)/P(B)، ارائه شده P(B)>0. (در غیر این صورت، تعریف نشده است.)
رویداد A مستقل از رویداد B است، اگر احتمال وقوع A تحت تأثیر رخداد یا عدم وقوع B نباشد. به عبارت دیگر، نتیجه رویداد B هیچ تاثیری بر نتیجه رویداد A ندارد. بنابراین، P(A | B)=P(A). به طور مشابه، B مستقل از A است اگر P(B)=P(B | A). از این رو، می توانیم نتیجه بگیریم که اگر A و B رویدادهای مستقل باشند، آنگاه P(A∩B)=P(A). P(B)
فرض کنید که یک مکعب شماره گذاری شده و یک سکه منصفانه برگردانده شده است. فرض کنید A رویدادی باشد که به دست آوردن یک سر و B رویدادی باشد که چرخش یک عدد زوج باشد. سپس می‌توان نتیجه گرفت که رویدادهای A و B مستقل هستند، زیرا نتیجه یکی بر نتیجه دیگری تأثیر نمی‌گذارد. بنابراین، P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. از آنجایی که P(A∩B)≠0، A و B نمی توانند متقابل باشند.
فرض کنید که یک کوزه دارای ۷ تیله سفید و ۸ تیله سیاه است. رویداد A را ترسیم یک سنگ مرمر سفید و رویداد B را ترسیم یک تیله سیاه تعریف کنید. با فرض اینکه هر سنگ مرمر پس از مشخص کردن رنگ آن جایگزین شود، P(A) و P(B) همیشه یکسان خواهند بود، مهم نیست که چند بار از داخل کوزه بکشیم. جایگزین کردن تیله ها به این معنی است که احتمالات از قرعه ای به رسم دیگر تغییر نمی کند، مهم نیست که در آخرین قرعه چه رنگی را انتخاب کرده ایم. بنابراین، رویداد A و B مستقل هستند.
با این حال، اگر تیله ها بدون جایگزینی کشیده شوند، همه چیز تغییر می کند. بر اساس این فرض، رویدادهای A و B مستقل نیستند. کشیدن یک سنگ مرمر سفید در بار اول احتمال ترسیم یک سنگ مرمر سیاه در دومین ترسیم و غیره را تغییر می دهد. به عبارت دیگر، هر تساوی در قرعه کشی بعدی تأثیر دارد و بنابراین تساوی های فردی مستقل نیستند.
تفاوت بین رویدادهای متقابل انحصاری و مستقل
– انحصار متقابل رویدادها به این معنی است که بین مجموعه های A و B همپوشانی وجود ندارد. استقلال رویدادها به این معنی است که رخ دادن A بر روی وقوع B تأثیر نمی گذارد.
– اگر دو رویداد A و B متقابل متقابل باشند، P(A∩B)=0.
– اگر دو رویداد A و B مستقل باشند، آنگاه P(A∩B)=P(A). P(B)
