تفاوت بین ادغام و جمع

2024 نویسنده: Alex Aldridge | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 13:37

ادغام در مقابل جمع

در ریاضیات دبیرستان، ادغام و جمع اغلب در عملیات ریاضی یافت می شود. آنها ظاهراً به عنوان ابزارهای مختلف و در موقعیت های مختلف استفاده می شوند، اما رابطه بسیار نزدیکی دارند.

بیشتر درباره Sumation

جمع عملیات جمع کردن دنباله ای از اعداد است و این عمل اغلب با حرف یونانی بزرگ سیگما Σ نشان داده می شود. برای خلاصه کردن جمع و برابر با مجموع / کل دنباله استفاده می شود. آنها اغلب برای نشان دادن سریال استفاده می شوند، که اساساً دنباله های بی نهایتی هستند که خلاصه می شوند.آنها همچنین می توانند برای نشان دادن مجموع بردارها، ماتریس ها یا چندجمله ای ها استفاده شوند.

جمع بندی معمولاً برای محدوده ای از مقادیر انجام می شود که می توانند با یک عبارت کلی نشان داده شوند، مانند سری هایی که یک عبارت مشترک دارند. نقطه شروع و نقطه پایان جمع به ترتیب به عنوان کران پایین و کران بالای جمع شناخته می شوند.

برای مثال، مجموع دنباله a₁، a₂، a₃، a ₄، …، a_n یک₁ است + a₂ + a ₃ + … + a_n که به راحتی می توان با استفاده از نماد جمع بندی به صورت ∑ _{نشان داد i=1} a_{i; i شاخص جمع نامیده می شود.}

تغییرهای زیادی برای جمع بندی بر اساس برنامه استفاده می شود. در برخی موارد، کران بالا و پایین را می‌توان به‌عنوان یک بازه یا محدوده ارائه کرد، مانند ∑_1≤i≤100 a_i و ∑_{i∈[1, 100]} a_i یا می توان آن را به عنوان مجموعه ای از اعداد مانند ∑_{i∈P ارائه کرد} a_{i، که در آن P یک مجموعه تعریف شده است.}

در برخی موارد می توان از دو یا چند علامت سیگما استفاده کرد، اما می توان آنها را به صورت زیر تعمیم داد. ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j، k} a _jk.

همچنین، جمع از بسیاری از قوانین جبری پیروی می کند. از آنجایی که عملیات تعبیه شده جمع است، بسیاری از قواعد رایج جبر را می توان برای خود مجموع و برای عبارات مجزا که توسط جمع نشان داده شده است، اعمال کرد.

بیشتر درباره ادغام

ادغام به عنوان فرآیند معکوس تمایز تعریف می شود. اما در نمای هندسی خود می توان آن را ناحیه ای در نظر گرفت که توسط منحنی تابع و محور محصور شده است. بنابراین، محاسبه مساحت مقدار یک انتگرال معین را همانطور که در نمودار نشان داده شده است، به دست می دهد.

منبع تصویر:

مقدار انتگرال معین در واقع مجموع نوارهای کوچک داخل منحنی و محور است. مساحت هر نوار ارتفاع×عرض در نقطه روی محور در نظر گرفته شده است. عرض مقداری است که می توانیم انتخاب کنیم، مثلا Δx. و ارتفاع تقریباً مقدار تابع در نقطه مورد نظر است، مثلاً f (x_{i). از نمودار، مشهود است که هرچه نوارها کوچکتر باشند، نوارها در داخل ناحیه محدود قرار می گیرند، بنابراین تقریب بهتری از مقدار انجام می شود.}

بنابراین، به طور کلی انتگرال معین I، بین نقاط a و b (یعنی در بازه [a, b] که در آن a<b)، می تواند به صورت I ≅ f (x_{1) داده شود.)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x، که n تعداد نوارها است (n=(b-a)/∆x). این جمع مساحت را می توان به راحتی با استفاده از نماد جمع بندی به صورت I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i نشان داد)∆x.از آنجایی که تقریب زمانی بهتر است که ∆x کوچکتر باشد، می‌توانیم مقدار را زمانی که ∆x→0 محاسبه کنیم. بنابراین، منطقی است که بگوییم I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

به عنوان یک تعمیم از مفهوم بالا، ما می توانیم ∆x را بر اساس بازه در نظر گرفته شده توسط i انتخاب کنیم (انتخاب پهنای ناحیه بر اساس موقعیت). سپسرا دریافت می کنیم

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

این به عنوان انتگرال رایمان تابع f (x) در بازه [a, b] شناخته می شود. در این حالت a و b به عنوان کران بالا و کران پایین انتگرال شناخته می شوند. انتگرال رایمان شکل پایه ای از همه روش های ادغام است.

در اصل، ادغام مجموع مساحتی است که عرض مستطیل بی نهایت کوچک است.

تفاوت بین ادغام و جمع چیست؟

• جمع، جمع کردن دنباله ای از اعداد است. معمولاً جمع به این شکل داده می شود ∑_i=1 a_{i وقتی که عبارت های دنباله یک الگو دارند و می توان آن را با استفاده از یک عبارت کلی بیان کرد.}

• یکپارچگی اساساً ناحیه ای است که توسط منحنی تابع، محور و حدود بالا و پایین محدود شده است. این منطقه را می توان به عنوان مجموع مناطق بسیار کوچکتر موجود در ناحیه محدود ارائه کرد.

• جمع شامل مقادیر گسسته با کرانهای بالا و پایین است، در حالی که ادغام شامل مقادیر پیوسته است.

• ادغام را می توان به عنوان شکل خاصی از جمع تفسیر کرد.

• در روش های محاسبات عددی، ادغام همیشه به صورت جمع انجام می شود.