تفاوت بین لگاریتمی و نمایی

2024 نویسنده: Alex Aldridge | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 13:37

لگاریتمی در مقابل نمایی | تابع نمایی در مقابل تابع لگاریتمی

توابع یکی از مهم ترین کلاس های اشیاء ریاضی هستند که تقریباً در همه زیر شاخه های ریاضیات به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرند. همانطور که از نام آنها پیداست هم تابع نمایی و هم تابع لگاریتمی دو تابع خاص هستند.

تابعیک رابطه بین دو مجموعه است که به گونه ای تعریف شده است که برای هر عنصر در مجموعه اول، مقدار مربوط به آن در مجموعه دوم منحصر به فرد است. فرض کنید ƒ تابعی باشد که از مجموعه A به مجموعه B تعریف شده است. سپس برای هر x ϵ A، نماد ƒ(x) نشان دهنده مقدار منحصر به فرد در مجموعه B است که با x مطابقت دارد.به آن تصویر x زیر ƒ می گویند. بنابراین، یک رابطه ƒ از A به B یک تابع است، اگر و فقط اگر، برای هر x ϵ A و y ϵ A، اگر x=y پس ƒ(x)=ƒ(y). مجموعه A دامنه تابع ƒ نامیده می شود و مجموعه ای است که تابع در آن تعریف می شود.

تابع نمایی چیست؟

تابع نمایی تابعی است که با ƒ(x)=e^x داده می شود، جایی که e=lim(1 + 1/n) (≈ 2.718…) و یک عدد غیر منطقی متعالی است. یکی از ویژگی های تابع این است که مشتق تابع با خودش برابر است; یعنی وقتی y=e^x، dy/dx=e^x همچنین، تابع یک تابع افزایشی پیوسته در همه جا است که محور x را مجانبی دارد. بنابراین، تابع نیز یک به یک است. برای هر x ε R، ما آن e^x> 0 را داریم، و می توان نشان داد که روی R ⁺ است همچنین، از هویت اصلی پیروی می کند. e^x+y=e^xe^y و e^۰ =۱. این تابع همچنین می تواند با استفاده از بسط سری ارائه شده توسط 1 + x/1 نمایش داده شود! + x²/2! + x³/3! + … + x^{/n! + …}

تابع لگاریتمی چیست؟

تابع لگاریتمی معکوس تابع نمایی است. از آنجایی که تابع نمایی یک به یک و روی R ⁺ است، یک تابع g را می توان از مجموعه اعداد حقیقی مثبت به مجموعه اعداد حقیقی داده شده توسط g(y تعریف کرد.)=x، اگر و فقط اگر، y=e^x این تابع g تابع لگاریتمی یا معمولاً به عنوان لگاریتم طبیعی نامیده می شود. با g(x)=log e^{x=ln x نشان داده می شود. از آنجایی که معکوس تابع نمایی است، اگر انعکاس نمودار تابع نمایی را روی خط y=x بگیریم، نمودار تابع لگاریتمی را خواهیم داشت. بنابراین، تابع مجانبی به محور y است.}

تابع لگاریتمی از قوانین اساسی پیروی می کند که ln xy=ln x + ln y، ln x/y=ln x – ln y و ln xy=y ln x مهمترین آنها هستند. این نیز یک تابع افزایشی است و در همه جا پیوسته است. بنابراین، آن نیز یک به یک است.می توان نشان داد که روی R است.

تفاوت بین تابع نمایی و تابع لگاریتمی چیست؟

• تابع نمایی با ƒ(x)=e^{x داده می شود، در حالی که تابع لگاریتمی با g(x)=ln x داده می شود، و اولی معکوس است دومی.}

• دامنه تابع نمایی مجموعه ای از اعداد حقیقی است، اما دامنه تابع لگاریتمی مجموعه ای از اعداد حقیقی مثبت است.

• محدوده تابع نمایی مجموعه ای از اعداد حقیقی مثبت است، اما محدوده تابع لگاریتمی مجموعه ای از اعداد حقیقی است.