Associative vs Commutative
در زندگی روزمره ما، هر زمان که نیاز به اندازه گیری چیزی داشته باشیم، باید از اعداد استفاده کنیم. در فروشگاه مواد غذایی، در پمپ بنزین و حتی در آشپزخانه، باید دو یا چند مقدار را اضافه، کم و ضرب کنیم. از تمرین ما، این محاسبات را کاملاً بدون زحمت انجام می دهیم. ما هرگز متوجه نمی شویم و نمی پرسیم که چرا این عملیات را به این روش خاص انجام می دهیم. یا اینکه چرا این محاسبات را نمی توان به روش دیگری انجام داد. پاسخ در نحوه تعریف این عملیات در زمینه ریاضی جبر پنهان است.
در جبر، عملیاتی شامل دو کمیت (مانند جمع) به عنوان یک عملیات باینری تعریف می شود.به طور دقیق تر، این یک عملیات بین دو عنصر از یک مجموعه است و به این عناصر "عملوند" می گویند. بسیاری از عملیات در ریاضیات از جمله عملیات حسابی که قبلاً ذکر شد و آنهایی که در تئوری مجموعه ها، جبر خطی و منطق ریاضی با آن مواجه می شوند را می توان به عنوان عملیات باینری تعریف کرد.
مجموعه ای از قوانین حاکم مربوط به یک عملیات باینری خاص وجود دارد. ویژگی های انجمنی و جابجایی دو ویژگی اساسی عملیات باینری هستند.
اطلاعات بیشتر درباره دارایی جابجایی
فرض کنید برخی از عملیات دودویی، که با نماد ⊗ نشان داده شده است، روی عناصر A و B انجام شده است. اگر ترتیب عملوندها بر نتیجه عملیات تأثیری نداشته باشد، گفته می شود که عملیات جابجایی است. به عنوان مثال، اگر A ⊗ B=B ⊗ A در آن صورت عملیات جابجایی است.
عملیات حسابی جمع و ضرب جابجایی هستند. ترتیب اعداد جمع شده یا ضرب شده با هم تاثیری در پاسخ نهایی ندارد:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
اما در مورد تقسیم، تغییر ترتیب، متقابل دیگری را می دهد و در تفریق تغییر، منفی دیگری را می دهد. بنابراین،
A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 و 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0.8 و 5 ÷ 4=1.25 [در این مورد A, B ≠ 1 و 0]
در واقع، گفته می شود که تفریق ضد تعویض است. جایی که A – B=– (B – A).
همچنین پیوندهای منطقی، ربط، منفصل، دلالت و معادل نیز جابجایی هستند. توابع حقیقت نیز جابجایی هستند. مجموعه عملیات اتحادیه و تقاطع جابجایی هستند. جمع و حاصل ضرب اسکالر بردارها نیز جابجایی هستند.
اما بردار تفریق و حاصلضرب بردار جابجایی نیست (ضرب برداری دو بردار ضد جابجایی است). جمع ماتریس جابجایی است، اما ضرب و تفریق جابجایی نیستند.(ضرب دو ماتریس در موارد خاص می تواند جابجایی باشد، مانند ضرب یک ماتریس با معکوس آن یا ماتریس هویت؛ اما قطعا اگر ماتریس ها هم اندازه نباشند، ماتریس ها جابجایی نیستند)
بیشتر درباره املاک انجمنی
اگر دو یا چند مورد از اپراتور وجود داشته باشد، به یک عملیات باینری ارتباطی گفته می شود که ترتیب اجرا بر روی نتیجه تأثیر نمی گذارد. عناصر A، B و C و عملیات باینری ⊗ را در نظر بگیرید. گفته می‌شود که عمل ⊗ تداعی کننده است اگر
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
از توابع حسابی پایه، فقط جمع و ضرب تداعی هستند.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) × 3=60
تفریق و تقسیم انجمنی نیستند؛
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 و (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2.4 و (5 ÷ 4) ÷ 3=0.2666
پیوندهای منطقی تفکیک، ربط و هم ارزی، و همچنین مجموعه عملیات اتحاد و تقاطع، تداعی کننده هستند. ماتریس و جمع بردار انجمنی هستند. حاصل ضرب اسکالر بردارها تداعی کننده است، اما حاصلضرب برداری نه. ضرب ماتریس فقط در شرایط خاص ارتباطی است.
تفاوت بین دارایی Commutative و Associative چیست؟
• هر دو ویژگی انجمنی و ویژگی جابجایی ویژگی های ویژه عملیات باینری هستند و برخی آنها را برآورده می کنند و برخی نه.
• این ویژگی ها را می توان در بسیاری از اشکال عملیات جبری و سایر عملیات دودویی در ریاضیات مشاهده کرد، مانند تقاطع و اتحاد در نظریه مجموعه ها یا اتصالات منطقی.
• تفاوت بین commutative و associative در این است که ویژگی جابجایی بیان می کند که ترتیب عناصر نتیجه نهایی را تغییر نمی دهد در حالی که ویژگی associative بیان می کند که ترتیب انجام عملیات بر پاسخ نهایی تأثیر نمی گذارد..
