تفاوت اصلی بین مکانیک لاگرانژی و همیلتونی در این است که مکانیک لاگرانژی تفاوت بین انرژی جنبشی و پتانسیل را توصیف می کند، در حالی که مکانیک هامیلتونی مجموع انرژی های جنبشی و پتانسیل را توصیف می کند.
مکانیک لاگرانژی و مکانیک همیلتونی مفاهیم مهمی در شیمی فیزیک هستند که تحت مکانیک کلاسیک قرار می گیرند. مکانیک لاگرانژی توسط ریاضیدان ایتالیایی جوزف-لوئیس لاگرانژ در سال 1788 توسعه یافت، در حالی که مکانیک همیلتونی توسط ویلیام روآن همیلتون در سال 1833 توسعه یافت.
مکانیک لاگرانژی چیست؟
مکانیک لاگرانژی را می توان به عنوان فرمول مجدد مکانیک کلاسیک تعریف کرد که توسط ریاضیدان ایتالیایی به نام جوزف-لوئیس لاگرانژ در سال 1788 معرفی شد.در این مفهوم شیمیایی، مسیر یک سیستم فیزیکی حاوی ذرات از طریق حل معادلات لاگرانژ به یکی از دو شکل به دست می‌آید: معادلات لاگرانژ از نوع اول و معادلات لاگرانژ از نوع دوم.
نوع اول از معادلات لاگرانژ، با استفاده از ضرب‌کننده‌های لاگرانژ، محدودیت‌ها را به‌صراحت به‌عنوان معادلات اضافی در نظر می‌گیرد، در حالی که نوع دوم معادلات لاگرانژ، محدودیت‌ها را مستقیماً از طریق انتخاب عاقلانه مختصات تعمیم‌یافته ترکیب می‌کند. با این حال، در هر یک از این دو نوع، یک تابع ریاضی به نام لاگرانژ به عنوان تابعی از مختصات تعمیم یافته، مشتقات زمانی آنها و زمان نامیده می شود. علاوه بر این، این مفهوم حاوی اطلاعاتی در مورد پویایی سیستم است.
شکل 01: ژوزف-لوئیس لاگرانژ
مکانیک لاگرانژی یک مفهوم شیمیایی پیچیده‌تر و سیستماتیک‌تر از لحاظ ریاضی است. در مقایسه با مکانیک نیوتنی، لزوماً هیچ مفهوم فیزیک جدیدی برای کاربرد مکانیک لاگرانژی معرفی نشده است. با این حال، مکانیک لاگرانژی در حل مسائل مکانیکی در فیزیک بسیار مفید است، زمانی که فرمول‌بندی‌های مکانیک کلاسیک نیوتن مناسب نباشد.
مکانیک هامیلتونی چیست؟
مکانیک همیلتونی یک فرمول ریاضی پیچیده از مکانیک کلاسیک است. این مفهوم شیمیایی به فرمول بندی مکانیک آماری و مکانیک کوانتومی کمک می کند. این مفهوم توسط ویلیام روآن همیلتون در سال 1833 توسعه یافت. او آن را با شروع از مکانیک لاگرانژی توسعه داد. علاوه بر این، مکانیک همیلتونی در محدودیت‌های مکانیک کلاسیک معادل قوانین حرکت نیوتن است.
شکل 02: سر ویلیام همیلتون
در مکانیک همیلتونی، ما می توانیم از مجموعه ای از مختصات متعارف در توصیف سیستم های فیزیکی کلاسیک استفاده کنیم: r=(q, p). هر یک از مختصات این اجزای qi، pi در چارچوب مرجع آن سیستم فیزیکی نمایه می شود. مولفه های مختصات qi به عنوان مختصات تعمیم یافته نامیده می شوند، در حالی که pi به عنوان لحظه مزدوج آنها نامگذاری می شود.
تفاوت بین مکانیک لاگرانژی و همیلتونی چیست؟
مکانیک لاگرانژی و مکانیک همیلتونی مفاهیم مهمی در شیمی فیزیک هستند که تحت مکانیک کلاسیک قرار می گیرند. مکانیک لاگرانژی توسط ریاضیدان ایتالیایی به نام جوزف-لوئیس لاگرانژ در سال 1788 توسعه یافت، در حالی که مکانیک همیلتونی توسط ویلیام روآن همیلتون در سال 1833 توسعه یافت. مکانیک هامیلتونی مجموع انرژی های جنبشی و پتانسیل را توصیف می کند.علاوه بر این، مکانیک لاگرانژی از مختصات دکارتی در محاسبات استفاده می کند، در حالی که مکانیک هامیلتونی از مختصات متعارف استفاده می کند.
در زیر خلاصه ای از تفاوت بین مکانیک لاگرانژی و هامیلتونی به صورت جدولی آمده است.
خلاصه - لاگرانژیان در مقابل مکانیک هامیلتونی
مکانیک لاگرانژی را می توان به عنوان فرمول بندی مجدد مکانیک کلاسیک تعریف کرد. مکانیک همیلتونی یک فرمول ریاضی پیچیده از مکانیک کلاسیک است. تفاوت اصلی بین مکانیک لاگرانژی و همیلتونی این است که مکانیک لاگرانژی تفاوت بین انرژی های جنبشی و پتانسیل را توصیف می کند، در حالی که مکانیک هامیلتونی مجموع انرژی های جنبشی و پتانسیل را توصیف می کند.
