متعامد در مقابل متعامد
در ریاضیات، دو کلمه متعامد و متعامد اغلب همراه با مجموعه ای از بردارها استفاده می شوند. در اینجا، اصطلاح "بردار" به این معنا استفاده می شود که عنصری از فضای برداری است - یک ساختار جبری که در جبر خطی استفاده می شود. برای بحث خود، یک فضای محصول داخلی را در نظر خواهیم گرفت - یک فضای برداری V به همراه یک حاصلضرب داخلی تعریف شده در V.
به عنوان مثال، برای یک محصول داخلی، فضا مجموعه ای از تمام بردارهای موقعیت سه بعدی به همراه حاصل ضرب نقطه ای معمول است.
متعامد چیست؟
یک زیرمجموعه بدون S از فضای محصول داخلی V متعامد گفته می شود، اگر و فقط اگر برای هر u، v در S مجزا، [u، v]=0; یعنی حاصل ضرب داخلی u و v برابر است با عدد صفر در فضای حاصلضرب داخلی.
برای مثال، در مجموعه همه بردارهای موقعیت سه بعدی، این معادل است که بگوییم برای هر جفت متمایز از بردارهای موقعیت p و q در S، p و q بر یکدیگر عمود هستند. (به یاد داشته باشید که حاصلضرب درونی در این فضای برداری، حاصل ضرب نقطه ای است. همچنین حاصل ضرب نقطه ای دو بردار اگر و فقط اگر دو بردار بر یکدیگر عمود باشند برابر با 0 است.)
مجموعه S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)} را در نظر بگیرید که زیرمجموعه ای از بردارهای موقعیت سه بعدی است. توجه کنید که (0، 2، 0).(4، 0، 0)=0، (4، 0، 0).(0، 0، 5)=0 و (0، 2، 0).(0، 0 ، 5)=0. بنابراین، مجموعه S متعامد است. به طور خاص، اگر حاصل ضرب درونی آنها 0 باشد، به دو بردار متعامد گفته می شود. بنابراین، هر جفت بردار در Sis متعامد هستند.
ارتونورمال چیست؟
یک زیرمجموعه غیرخالی S از فضای حاصلضرب داخلی V، متعامد است اگر و فقط اگر S متعامد باشد و برای هر بردار u در S، [u, u]=1. بنابراین، می توان دید که هر مجموعه متعامد متعامد است اما برعکس نیست.
به عنوان مثال، در مجموعه تمام بردارهای موقعیت سه بعدی، این معادل این است که بگوییم برای هر جفت متمایز از بردارهای موقعیت p و q در S، p و q بر یکدیگر عمود هستند، و برای هر p در S، |p|=1. این به این دلیل است که شرط [p, p]=1 به p.p=|p||p|cos0=|p|2=1 کاهش می یابد، که معادل |p است |=1. بنابراین، با توجه به یک مجموعه متعامد، ما همیشه می توانیم با تقسیم هر بردار بر قدر آن، یک مجموعه متعامد متناظر را تشکیل دهیم.
T={(0، 1، 0)، (1، 0، 0)، (0، 0، 1)} یک زیر مجموعه متعارف از مجموعه همه بردارهای موقعیت سه بعدی است. به راحتی می توان فهمید که با تقسیم هر یک از بردارهای مجموعه S بر قدر آنها به دست آمده است.
تفاوت بین متعامد و متعامد چیست؟
- یک زیرمجموعه بدون S از فضای محصول داخلی V متعامد گفته می شود، اگر و فقط اگر برای هر u، v در S مجزا، [u، v]=0 باشد. با این حال، متعامد است، اگر و فقط در صورتی که یک شرط اضافی - برای هر بردار u در S، [u، u]=1 برآورده شود.
- هر مجموعه متعامد متعامد است اما برعکس نیست.
- هر مجموعه متعامد مربوط به یک مجموعه متعامد منحصر به فرد است، اما یک مجموعه متعامد ممکن است با بسیاری از مجموعه‌های متعامد مطابقت داشته باشد.
