Cardinal vs Ordinal
در زندگی روزمره ما، استفاده از اعداد ممکن است در موقعیت‌های مختلف اشکال متفاوتی داشته باشد. به عنوان مثال، وقتی برای تعیین اندازه یک مجموعه از اشیاء شمارش می کنیم، آنها را یک، دو، سه و غیره می شماریم. وقتی می خواهیم چیزی را بشماریم تا حس موقعیت اشیا را به دست آوریم، آنها را اول، دوم، سوم و … می شماریم. در شکل اول شمارش، اعداد را اعداد اصلی می گویند. در شکل دوم شمارش، اعداد به عنوان اعداد ترتیبی در نظر گرفته می شوند. در این زمینه، مفاهیم اصلی و ترتیبی کاملاً یک موضوع زبان شناسی است; کاردینال و ترتیبی صفت هستند.
با این حال، بسط مفهوم به مجموعه ها در ریاضیات دیدگاه بسیار عمیق تر و گسترده تری را نشان می دهد و نمی توان به زبان ساده به آن پرداخت. در این مقاله سعی خواهیم کرد مفاهیم اساسی اعداد اصلی و ترتیبی در ریاضیات را درک کنیم.
تعریف رسمی اعداد اصلی و ترتیبی در نظریه مجموعه ارائه شده است. تعاریف پیچیده هستند و برای درک کامل آنها نیاز به دانش پیش زمینه در نظریه مجموعه ها دارد. بنابراین، برای درک اکتشافی مفاهیم به چند مثال می‌پردازیم.
دو مجموعه {1، 3، 6، 4، 5، 2} و {اتوبوس، ماشین، کشتی، قطار، هواپیما، هلیکوپتر} را در نظر بگیرید. هر مجموعه مجموعه ای از عناصر را فهرست می کند، و اگر تعداد عناصر را بشماریم، مشخص می شود که هر کدام تعداد عناصر یکسانی دارند، یعنی 6. با رسیدن به این نتیجه، اندازه یک مجموعه را گرفته و با استفاده از یک مجموعه با دیگری مقایسه کرده ایم. عدد. به چنین عددی عدد اصلی می گویند. بنابراین، می توان گفت که یک عدد اصلی عددی است که می توانیم از آن برای مقایسه اندازه مجموعه های محدود استفاده کنیم.
باز هم می توان اولین مجموعه اعداد را با توجه به اندازه هر عنصر و مقایسه آنها به ترتیب صعودی مرتب کرد. در فرآیند سفارش، شماره ها به عنوان کاردینال در نظر گرفته می شوند. به همین ترتیب، مجموعه تمام اعداد صحیح غیر منفی را می توان در یک مجموعه مرتب کرد. یعنی {0، 1، 2، 3، 4، ….}. اما در این صورت اندازه مجموعه بی نهایت می شود و دادن آن بر حسب ترتیب امکان پذیر نیست. مهم نیست که عددی را چقدر بزرگ انتخاب می کنید تا اندازه مجموعه را مشخص کنید، باز هم اعدادی از مجموعه ای که انتخاب کرده اید و اعداد صحیح غیرمنفی هستند باقی می مانند.
بنابراین، ریاضیدانان این کاردینال بی نهایت (که اولین است) را Aleph-0 تعریف می کنند که به صورت א (اولین حرف در الفبای عبری) نوشته می شود. به طور رسمی، شماره ترتیبی، نوع سفارش یک مجموعه خوب است. بنابراین، عدد ترتیبی مجموعه‌های متناهی را می‌توان با اعداد اصلی به‌دست آورد، اما برای مجموعه‌های نامتناهی، عدد ترتیبی با اعداد نامتناهی مانند Aleph-0 داده می‌شود.
تفاوت بین اعداد اصلی و ترتیبی چیست؟
• عدد اصلی عددی است که می توان از آن برای شمارش یا برای دادن اندازه یک مجموعه مرتب شده محدود استفاده کرد. همه اعداد اصلی ترتیبی هستند.
• اعداد ترتیبی اعدادی هستند که برای نشان دادن اندازه مجموعه های مرتب شده محدود و نامتناهی استفاده می شوند. اندازه مجموعه‌های مرتب شده محدود با اعداد جبری هندو-عربی معمولی و اندازه مجموعه‌های نامتناهی با اعداد نامتناهی داده می‌شود.
