تفاوت بین دنباله حسابی و دنباله هندسی

2024 نویسنده: Alex Aldridge | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-17 23:30

دنباله حسابی در مقابل دنباله هندسی

مطالعه الگوهای اعداد و رفتار آنها یک مطالعه مهم در زمینه ریاضیات است. اغلب این الگوها در طبیعت دیده می شوند و به ما کمک می کنند تا رفتار آنها را از دیدگاه علمی توضیح دهیم. دنباله های حسابی و دنباله های هندسی دو الگوی اساسی هستند که در اعداد رخ می دهند و اغلب در پدیده های طبیعی یافت می شوند.

دنباله مجموعه ای از اعداد مرتب شده است. تعداد عناصر در دنباله می تواند متناهی یا بی نهایت باشد.

بیشتر درباره دنباله حسابی (پیشرفت حسابی)

یک دنباله حسابی به عنوان دنباله ای از اعداد با اختلاف ثابت بین هر جمله متوالی تعریف می شود. به عنوان پیشروی حسابی نیز شناخته می شود.

دنباله حسابی ⇒ a₁، a₂، a_3، a₄ ، …، a_n; جایی که a₂ =a₁ + روز، a₃ =a_{2+ d و غیره.}

اگر جمله اولیه a₁ باشد و تفاوت مشترک d باشد، آنگاه n^{ام از دنباله به دست می آید.}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

با ادامه دادن نتیجه فوق، عبارت n^{ام را نیز می توان به صورت; ارائه داد.}

a_n =a_m + (n-m)d، که در آن a_{m یک عبارت تصادفی است به ترتیبی که n > m.}

مجموعه اعداد زوج و مجموعه اعداد فرد ساده‌ترین نمونه‌های دنباله‌های حسابی هستند که هر دنباله دارای اختلاف مشترک (d) ۲ است.

تعداد عبارت های یک دنباله می تواند نامتناهی یا متناهی باشد.در حالت نامتناهی (n → ∞)، دنباله بسته به تفاوت مشترک به بی نهایت میل می کند (a_{n → ±∞). اگر اختلاف مشترک مثبت باشد (d > 0)، دنباله به سمت بی نهایت مثبت و اگر اختلاف مشترک منفی باشد (d < 0)، به سمت بی نهایت منفی گرایش دارد. اگر عبارات متناهی باشند، دنباله نیز متناهی است.}

مجموع عبارت‌های دنباله حسابی به عنوان سری حسابی شناخته می‌شود: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{و S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] مقدار سری (S}n)

بیشتر درباره دنباله هندسی (پیشرفت هندسی)

دنباله هندسی به دنباله ای تعریف می شود که در آن ضریب هر دو جمله متوالی ثابت است. این به عنوان پیشرفت هندسی نیز شناخته می شود.

دنباله هندسی ⇒ a₁، a₂، a₃، a₄ ، …، a_n; جایی که a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r و غیره، جایی که r یک عدد واقعی است.}

نشان دادن دنباله هندسی با استفاده از نسبت مشترک (r) و عبارت اولیه (a) آسان تر است. از این رو دنباله هندسی ⇒ a₁، a₁r، a₁r^{2 ، a}1_r3^{، …، a}1_rn-1.

شکل کلی n^ام ارائه شده توسط a_n =a₁r ^n-1. (از دست دادن زیرنویس ترم اولیه ⇒ a_n =ar^n-1)

دنباله هندسی نیز می تواند متناهی یا نامتناهی باشد. اگر تعداد عبارت ها محدود باشد، دنباله متناهی گفته می شود. و اگر عبارت ها نامتناهی باشند، دنباله بسته به نسبت r می تواند نامتناهی یا متناهی باشد. نسبت مشترک بر بسیاری از ویژگی‌های دنباله‌های هندسی تأثیر می‌گذارد.

r > o	0 < r < +1	دنباله همگرا می شود - فروپاشی نمایی، یعنی an ← 0, n ∞
	r=1	توالی ثابت، یعنی an=ثابت
	r > 1	توالی واگرا می شود - رشد نمایی، یعنی an → ∞، n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	دنباله در حال نوسان است، اما همگرا می شود
	r=1	توالی متناوب و ثابت است، یعنی an=±ثابت
	r < -1	دنباله متناوب است و واگرا می شود. یعنی an → ±∞، n ∞
r=0	دنباله رشته ای از صفر است

N. B: در تمام موارد بالا، a₁ > 0; اگر a₁ < 0 باشد، علائم مربوط به a_{n معکوس خواهند شد.}

فاصله زمانی بین پرش های توپ از یک دنباله هندسی در مدل ایده آل پیروی می کند و یک دنباله همگرا است.

مجموع عبارت های دنباله هندسی به عنوان یک سری هندسی شناخته می شود. S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. مجموع سری هندسی را می توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); که در آن a عبارت اولیه و r نسبت است.}

اگر نسبت r ≤ 1 باشد، سری همگرا می شود. برای یک سری نامتناهی، مقدار همگرایی با S_{n=a/(1-r) داده می شود}

تفاوت بین ترتیب/پیشرفت حسابی و هندسی چیست؟

• در یک دنباله حسابی، هر دو جمله متوالی دارای یک تفاوت مشترک (d) هستند، در حالی که، در دنباله هندسی، هر دو جمله متوالی دارای یک ضریب ثابت (r) هستند.

• در یک دنباله حسابی، تغییرات عبارت ها خطی است، یعنی می توان یک خط مستقیم از تمام نقاط رسم کرد. در یک سری هندسی، تغییرات نمایی است. رشد یا پوسیدگی بر اساس نسبت رایج.

• همه دنباله های حسابی نامتناهی واگرا هستند، در حالی که سری های هندسی نامتناهی می توانند واگرا یا همگرا باشند.

• اگر نسبت r منفی باشد سری هندسی می تواند نوسان را نشان دهد در حالی که سری حسابی نوسان را نشان نمی دهد