تفاوت بین سری های حسابی و هندسی

2024 نویسنده: Alex Aldridge | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 13:37

محاسبات در مقابل سری هندسی

تعریف ریاضی یک سری ارتباط نزدیکی با دنباله ها دارد. دنباله مجموعه ای مرتب از اعداد است و می تواند متناهی یا نامتناهی باشد. دنباله ای از اعداد با تفاوت بین دو عنصر ثابت به عنوان پیشروی حسابی شناخته می شود. دنباله ای با ضریب ثابت از دو عدد متوالی به عنوان پیشروی هندسی شناخته می شود. این پیشرفت‌ها می‌توانند متناهی یا نامتناهی باشند، و اگر متناهی باشد، تعداد عبارت‌ها قابل شمارش است، در غیر این صورت غیرقابل شمارش.

به طور کلی، مجموع عناصر در یک پیشرفت را می توان به عنوان یک سری تعریف کرد. مجموع یک تصاعد حسابی به عنوان یک سری حسابی شناخته می شود. به همین ترتیب، مجموع یک تصاعد هندسی به عنوان یک سری هندسی شناخته می شود.

بیشتر درباره سری حسابی

در یک سری حسابی، عبارت های متوالی یک تفاوت ثابت دارند.

S_n =a₁ + a₂ + a_{3+ a}4 _{+⋯+ a}n _=∑i=1_ai_{; جایی که a}2 _=a1 _{+ روز، a}3 _=a2 _{+ d و غیره.}

این تفاوت d به عنوان تفاوت مشترک شناخته می شود و عبارت n^ام با a_n =a _{داده می شود 1}+ (n-1)d; که در آن _{1 اولین ترم است.}

رفتار سری بر اساس تفاوت مشترک د. اگر تفاوت مشترک مثبت باشد، پیشرفت به سمت بی نهایت مثبت و اگر تفاوت مشترک منفی باشد به سمت بی نهایت منفی گرایش دارد.

مجموع این سری را می توان با فرمول ساده زیر به دست آورد، که اولین بار توسط ستاره شناس و ریاضیدان هندی Aryabhata ساخته شد.

S_n =n/2 (a₁+ a_n)=n/2 [2a_{1 + (n-1)d]}

مجموع S_{n بر اساس تعداد عبارت ها می تواند متناهی یا نامتناهی باشد.}

بیشتر درباره سری هندسی

یک سری هندسی سری با ضریب اعداد متوالی ثابت است. این یک سری مهم است که در مطالعه سری یافت می شود، به دلیل ویژگی هایی که دارد.

S_n =ar + ar² + ar³ +⋯+ ar ⁿ =∑_i=1 arⁱ

بر اساس نسبت r، رفتار سری را می توان به صورت زیر دسته بندی کرد. r={|r|≥1 سری واگرا می شود. سری r≤1 همگرا می شود}. همچنین، اگر r<0 سری نوسان داشته باشد، یعنی سری دارای مقادیر متناوب است.

مجموع سری های هندسی را می توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد. S_n =a(1-r) / (1-r); که در آن a عبارت اولیه و r نسبت است. اگر نسبت r≤1 باشد، سری همگرا می شود. برای یک سری نامتناهی، مقدار همگرایی با S_{n=a / (1-r) داده می شود.}

سری هندسی کاربردهای متعددی در زمینه‌های علوم فیزیکی، مهندسی و اقتصاد دارد

تفاوت بین سری های حسابی و هندسی چیست؟

• یک سری حسابی یک سری با اختلاف ثابت بین دو جمله مجاور است.

• یک سری هندسی سری با ضریب ثابت بین دو جمله متوالی است.

• همه سری های حسابی بی نهایت همیشه واگرا هستند، اما بسته به نسبت، سری هندسی می تواند همگرا یا واگرا باشد.

• سری هندسی می تواند دارای نوسان در مقادیر باشد. یعنی اعداد به طور متناوب علائم خود را تغییر می دهند، اما سری های حسابی نمی توانند نوسان داشته باشند.