زیر مجموعه ها در مقابل زیرمجموعه های مناسب
درک جهان از طریق دسته بندی اشیا به گروه ها کاملاً طبیعی است. این اساس مفهوم ریاضی به نام "نظریه مجموعه ها" است. نظریه مجموعه ها در اواخر قرن نوزدهم توسعه یافت و اکنون در ریاضیات وجود دارد. تقریباً تمام ریاضیات را می توان با استفاده از نظریه مجموعه ها به عنوان پایه استخراج کرد. کاربرد نظریه مجموعه ها از ریاضیات انتزاعی تا همه موضوعات در دنیای فیزیکی محسوس را در بر می گیرد.
زیر مجموعه و زیرمجموعه مناسب دو اصطلاحی هستند که اغلب در نظریه مجموعه ها برای معرفی روابط بین مجموعه ها استفاده می شوند.
اگر هر عنصر در مجموعه A نیز عضوی از مجموعه B باشد، مجموعه A را زیر مجموعه B می نامند. به طور رسمی تر، A زیرمجموعه ای از B است که با A⊆B نشان داده می شود اگر x∈A دلالت بر x∈B دارد.
هر مجموعه خود زیر مجموعه ای از همان مجموعه است، زیرا، بدیهی است، هر عنصری که در یک مجموعه باشد نیز در همان مجموعه خواهد بود. اگر A زیرمجموعه‌ای از B است، اما A برابر B نیست، می‌گوییم "A زیرمجموعه‌ای مناسب از B است". به عنوان مثال، مجموعه {1، 2} دارای 4 زیر مجموعه است، اما تنها 3 زیر مجموعه مناسب دارد. زیرا {1، 2} یک زیرمجموعه است اما زیرمجموعه مناسبی از {1، 2} نیست.
اگر یک مجموعه زیرمجموعه ای مناسب از مجموعه دیگری باشد، همیشه زیرمجموعه ای از آن مجموعه است، (یعنی اگر A زیرمجموعه مناسبی از B باشد، به این معنی است که A زیر مجموعه ای از B است). اما ممکن است زیر مجموعه هایی وجود داشته باشند که زیر مجموعه های مناسبی از ابرمجموعه خود نیستند. اگر دو مجموعه مساوی باشند، آنگاه آنها زیرمجموعه های یکدیگر هستند، اما زیرمجموعه های مناسب یکدیگر نیستند.
به طور خلاصه:
- اگر A زیرمجموعه B باشد، A و B می توانند برابر باشند.
- اگر A زیرمجموعه مناسب B باشد، A نمی تواند برابر با B باشد.
