تفاوت بین سری پاور و سری تیلور

2024 نویسنده: Alex Aldridge | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 13:37

Power Series vs Taylor Series

در ریاضیات، دنباله واقعی فهرستی از اعداد حقیقی است. به طور رسمی، تابعی از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد حقیقی است. اگر a_n n^مین یک دنباله باشد، دنباله را با یا با ₁ نشان می دهیم., یک ₂, …, a_n, ….به عنوان مثال دنباله 1, ½, ⅓, …, ^{1 را در نظر بگیرید} / _{n، …. می توان آن را به عنوان {1/n} نشان داد.}

امکان تعریف یک سری با استفاده از دنباله ها وجود دارد. یک سری مجموع عبارات یک دنباله است. بنابراین، برای هر دنباله، یک دنباله مرتبط وجود دارد و بالعکس.اگر {a_{n} دنباله‌ای است که در نظر گرفته می‌شود، در این صورت، سری تشکیل‌شده توسط آن دنباله را می‌توان به صورت: نشان داد.}

بنابراین، در مثال بالا، سری مرتبط 1+¹/₂+^{1 است /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

همانطور که از نام‌ها پیداست، سری‌های توانی نوع خاصی از سری‌ها هستند و به طور گسترده در تحلیل عددی و مدل‌سازی ریاضی مرتبط استفاده می‌شوند. سری تیلور یک سری توان ویژه است که روشی جایگزین و دستکاری آسان برای نمایش عملکردهای شناخته شده ارائه می دهد.

سری پاور چیست؟

یک سری توان مجموعه ای از شکل است

که برای برخی بازه ها در مرکز c همگرا است (احتمالاً). ضرایب a_{nمی توانند اعداد حقیقی یا مختلط باشند و مستقل از x هستند. یعنی متغیر ساختگی.}

برای مثال، با تنظیم _n=1 برای هر n، و c=0، سری توان 1+x+x² +…..+ x^{+… به دست می آید. به راحتی می توان مشاهده کرد که وقتی x ε (-1، 1)، این سری توان به 1/(1-x) همگرا می شود.}

یک سری توان زمانی همگرا می شود که x=c. مقادیر دیگر x که برای آنها سری توان همگرا می شود همیشه به شکل یک بازه باز در مرکز c هستند. یعنی مقدار 0≤ R ≤ ∞ وجود خواهد داشت به طوری که برای هر x راضی کننده |x-c|≤ R، سری توان همگرا و برای هر x راضی کننده |x-c|> R، سری توان واگرا است. این مقدار R شعاع همگرایی سری توان نامیده می شود (R می تواند هر مقدار واقعی یا بی نهایت مثبت را بگیرد).

سری های توان را می توان با استفاده از قوانین زیر جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کرد. دو سری توان را در نظر بگیرید:

سپس،

یعنی. مانند عبارت ها با هم جمع یا تفریق می شوند. همچنین، ضرب و تقسیم دو سری توان با استفاده از هویت،امکان پذیر است.

سریال تیلور چیست؟

سری تیلور برای تابع f (x) تعریف می شود که در یک بازه بی نهایت قابل تمایز است. فرض کنید f (x) در بازه‌ای با مرکز c قابل تمایز است. سپس سری توانی که باداده می شود

بسط سری تیلور تابع f (x) در حدود c نامیده می شود. (در اینجا f⁽ⁿ⁾ (c) n^{مشتقرا در x=c نشان دهید. در تحلیل عددی، تعداد متناهی عبارت در این بسط بینهایت در محاسبه مقادیر در نقاطی که سری به تابع اصلی همگرا است استفاده می شود.}

A تابع f (x) در بازه (a, b) تحلیلی است، اگر برای هر x ε (a, b)، سری تیلور از f (x) به تابع f همگرا شود (ایکس). برای مثال، 1/(1-x) روی (-1، 1) تحلیلی است، زیرا بسط تیلور آن 1+x+x²+….+ x ^{+… به تابع در آن بازه همگرا می شود و e}x ^{در همه جا تحلیلی است، زیرا سری تیلور از e}x ^{به e} همگرا می شود x ^{برای هر عدد واقعی x.}

تفاوت بین سری Power و سری Taylor چیست؟

1. سری تیلور یک کلاس ویژه از سری های توانی است که فقط برای توابعی تعریف شده است که در برخی بازه های باز بی نهایت قابل تمایز هستند.

2. سریال تیلور شکل ویژه ای دارد

در حالی که یک سری توان می تواند هر سری از شکل باشد